题目 下图是我国 $2008$ 年至 $2014$ 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．<br><img src="/static/images/81cb73b29d783ece362f3871ef4d40b7.png" class="img-responsive" /> 附注：<br/>参考数据：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^7{y_i}=9.32$，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{7}t_iy_i=40.17$，$\displaystyle \sqrt{\sum\limits_{i=1}^7\left(y_i-\bar y\right)^2}=0.55$，$\sqrt 7\approx 2.646$．<br/>参考公式：相关系数 $\displaystyle r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\left(t_i-\bar t\right)^2\sum\limits_{i=1}^n\left(y_i-\bar y\right)^2}}$<br/>回归方程 $\hat y=\hat a+\hat b t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：<br/>$\displaystyle \hat b=\dfrac {\sum\limits_{i=1}^n \left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)^2}$，$\hat a=\bar y -\hat b \bar t$． 问题1 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以说明； 答案1 略 解析1 相关系数可以用来刻画两个变量的线性相关性的强弱，$|r|$ 越接近于 $1$，表明两个变量的线性相关性越强．根据已知可求得\[\bar t=4,\sum \limits_{i=1}^7\left(t_i-\bar t\right)^2=28,\sqrt{\sum\limits _{i=1}^7\left(y_i-\bar y\right)^2}=0.55,\]\[\sum \limits_{i=1}^7\left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)=\sum \limits_{i=1}^7t_iy_i-\bar t\sum \limits_{i=1}^7y_i=40.17-4\times 9.32=2.89,\]所以\[r=\frac{\sum\limits_{i=1}^{7}{\left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{\left( {{t}_{i}}-\bar{t} \right)}^{2}}}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}^{2}}}}}\approx 0.99,\]因为 $y$ 与 $t$ 的相关系数近似值为 $0.99$，说明 $y$ 与 $t$ 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系． 备注1 问题2 建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到 $0.01$），预测 $2016$ 年我国生活垃圾无害化处理量． 答案2 回归方程为 $\hat y=0.92+0.10 t$，预测 $2016$ 年我国生活垃圾无害化处理量约为 $1.82$ 亿吨 解析2 考查线性回归方程的简单应用，根据公式计算即可．计算可得\[\hat{b}=\dfrac {\sum\limits_{i=1}^7 \left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sum\limits_{i=1}^{7}\left(t_i-\bar t\right)^2}\approx 0.103,\]所以\[\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}\approx 0.92,\]所以回归方程为\[\hat y=0.10t+0.92,\]将 $2016$ 年对应的 $t=9$ 代入回归方程得 $\hat y=0.92+0.10\times 9=1.82$．<br/>所以预测 $2016$ 年我国生活垃圾无害化处理量约为 $1.82$ 亿吨． 备注2