在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\sqrt 3\cos \alpha,\\y=\sin \alpha,\end{cases}$（$\alpha$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=2\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
2016年高考全国丙卷（文）
【标注】
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写出 $C_1$ 的普通方程和 $C_2$ 的直角坐标方程；标注答案$C_1$ 的普通方程为 $\dfrac {x^2}3+y^2=1$
参数方程 ．$C_2$ 的直角坐标方程为 $x+y-4=0$极坐标与极坐标方程 ．解析本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化．$C_1$ 的普通方程为 $\dfrac {x^2}3+y^2=1$．$C_2$ 的直角坐标方程为 $x+y-4=0$． -
设点 $P$ 在 $C_1$ 上，点 $Q$ 在 $C_2$ 上，求 $|PQ|$ 的最小值及此时 $P$ 的直角坐标．标注答案$\sqrt 2$，$\left(\dfrac 32,\dfrac 12\right)$．解析设出点 $P$ 的坐标，将 $P,Q$ 两点间的距离的最小值转化为点 $P$ 到直线的距离最小的问题，再结合三角函数相关知识进行解题．由题意，可设点 $P$ 的直角坐标为 $\left(\sqrt 3\cos \alpha,\sin \alpha\right)$．因为 $C_2$ 是直线，所以 $|PQ|$ 的最小值即为 $P$ 到 $C_2$ 的距离 $d\left(\alpha\right)$ 的最小值，由点到直线距离公式可得\[d\left(\alpha\right)=\dfrac {|\sqrt 3\cos \alpha+\sin \alpha-4|}{\sqrt 2}\overset{\left[a\right]}=\sqrt 2|\sin \left(\alpha+\dfrac {\mathrm \pi} 3\right)-2|.\]（推导中用到：[a]）
当且仅当 $\alpha=2k{\mathrm \pi} +\dfrac {\mathrm \pi} 6\left(k\in \mathbb Z\right)$ 时，$d\left(\alpha\right)$ 取得最小值，最小值为 $\sqrt 2$，此时 $P$ 的直角坐标为 $\left(\dfrac 32,\dfrac 12\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
