将边长为 $1$ 的正方形 $AA_1O_1O$（及其内部）绕边 $OO_1$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overset\frown{AC}$ 长为 $\dfrac 23 {\mathrm \pi} $，$\overset\frown{A_1B_1}$ 长为 $\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }3$，其中 $B_1$ 与 $C$ 在平面 $AA_1O_1O$ 的同侧．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（理）
【标注】
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求三棱锥 $C-O_1A_1B_1$ 的体积；标注答案$ \dfrac{\sqrt{3}}{12} $解析本小问考查三棱锥的体积，根据题中数据，带入公式即可．连接 $A_1B_1$，如图．$\overset\frown{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\angle {{A}_{1}}{{O}_{1}}{{B}_{1}}=\dfrac{\mathrm \pi} {3}$．所以 $\triangle {{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ 为正三角形，所以 ${{S}_{\triangle {{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$，所以\[{{V}_{C-{{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}}}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{1}{3}O{{O}_{1}}\cdot {{S}_{\triangle {{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\]（推导中用到：[a]）
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求异面直线 $B_1C$ 与 $AA_1$ 所成的角的大小．标注答案$45^\circ $解析求异面直线所成角，一般通过作平行直线，将两条异面直线平移到同一个三角形中，借助余弦定理求夹角．设点 ${{B}_{1}}$ 在下底面圆周的射影为 $B$，连接 $B{{B}_{1}}$．
则 $B{{B}_{1}}\parallel A{{A}_{1}}$，所以 $\angle B{{B}_{1}}C$ 为直线 ${{B}_{1}}C$ 与 $A{{A}_{1}}$ 所成角（或补角），$B{{B}_{1}}=A{{A}_{1}}=1$，连接 $BC,BO$．\[\overset\frown{AB}=\overset\frown{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\dfrac{\mathrm \pi} {3}, \overset\frown{AC}=\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3},\]所以 $\overset\frown{BC}=\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，故 $\angle BOC=\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，因此 $\triangle BOC$ 为正三角形，$BC=BO=1$，所以\[\tan \angle B{{B}_{1}}C=\dfrac{BC}{B{{B}_{1}}}=1,\]所以 $\angle B{{B}_{1}}C=45^\circ $，因此直线 ${{B}_{1}}C$ 与 $A{{A}_{1}}$ 的所成角大小为 $45^\circ $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
