如图，$A$，$B$，$C$ 三地有直道相通，$AB=5$ 千米，$AC=3$ 千米，$BC=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 $A$ 地出发匀速前往 $B$ 地，过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f\left(t\right)$（单位：千米）．甲的路线是 $AB$，速度为 $5$ 千米/小时，乙的路线是 $ACB$，速度为 $8$ 千米/小时．乙到达 $B$ 地后在原地等待．设 $t=t_1$ 时，乙到达 $C$ 地．
【难度】
【出处】
2015年高考上海卷（理）
【标注】
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求 $t_1$ 与 $f\left(t_1\right)$ 的值；标注答案$t_1=\dfrac 38$；$f\left(t_1\right)=CD=\dfrac 38\sqrt{41}$（千米）解析$t_1=\dfrac 38$．
记乙到 $C$ 时甲所在地为 $D$，则 $AD=\dfrac{15}8$ 千米．
在 $\triangle ACD$ 中，$CD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos A$，
所以 $f\left(t_1\right)=CD=\dfrac 38\sqrt{41}$（千米）． -
已知警员的对讲机的有效通话距离是 $3$ 千米．当 $t_1\leqslant t\leqslant 1$ 时，求 $f\left(t\right)$ 的表达式，并判断 $f\left(t\right)$ 在 $\left[t_1,1\right]$ 上的最大值是否超过 $3$？说明理由．标注答案$f\left(t\right)$ 在 $\left[\dfrac 38,1\right]$ 上的最大值是 $\dfrac{3\sqrt{41}}{8}$，不超过 $3$．理由略解析甲到达 $B$ 用时 $1$ 小时；乙到达 $C$ 用时 $\dfrac 38$ 小时，从 $A$ 到 $B$ 总用时 $\dfrac 78$ 小时．
当 $t_1=\dfrac 38\leqslant t\leqslant \dfrac 78$ 时，\[ \begin{split}f\left(t\right)&=\sqrt{\left(7-8t\right)^2+\left(5-5t\right)^2-2\left(7-8t\right)\left(5-5t\right)\cdot \dfrac 45}\\&=\sqrt{25t^2-42t+18};\end{split} \]当 $\dfrac 78\leqslant t\leqslant 1$ 时，\[f\left(t\right)=5-5t.\]所以\[f\left(t\right)= \begin{cases}\sqrt{25t^2-42t+18},&\dfrac 38\leqslant t\leqslant \dfrac 78,\\
5-5t, & \dfrac 78<t\leqslant 1.
\end{cases} \]因为 $f\left(t\right)$ 在 $\left[\dfrac 38,\dfrac 78\right]$ 上的最大值是 $f\left(\dfrac 38\right)=\dfrac{3\sqrt{41}}{8}$，$f\left(t\right)$ 在 $\left[\dfrac 78,1\right]$ 上的最大值是 $f\left(\dfrac 78\right)=\dfrac{5}{8}$，
所以 $f\left(t\right)$ 在 $\left[\dfrac 38,1\right]$ 上的最大值是 $\dfrac{3\sqrt{41}}{8}$，不超过 $3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
