题目 已知 $2$ 件次品和 $3$ 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 $2$ 件次品或者检测出 $3$ 件正品时检测结束． 问题1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； 答案1 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为 $\dfrac{3}{10}$． 解析1 考查古典概型相关问题．记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 $A$，则 $P\left(A\right)=\dfrac{\mathrm A_2^1\mathrm A_3^1}{\mathrm A_5^2}=\dfrac{3}{10}$． 备注1 问题2 已知每检测一件产品需要费用 $100$ 元，设 $X$ 表示直到检测出 $2$ 件次品或者检测出 $3$ 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）． 答案2 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>X&200&300&400 \\ \hline<br/>P&\dfrac1{10}&\dfrac{3}{10}&\dfrac{6}{10}\\ \hline<br/>\end{array}\]数学期望 $EX=350$． 解析2 考查离散型随机变量的分布列与数学期望的基本知识．$X$ 的可能取值为 $200$，$300$，$400$．<br/>$P\left(X=200\right)=\dfrac{\mathrm A_2^2}{\mathrm A_5^2}=\dfrac1{10}$，<br/>$P\left(X=300\right)=\dfrac{\mathrm A_3^3+\mathrm C_2^1\mathrm C_3^1\mathrm A_2^2}{\mathrm A_5^3}=\dfrac{3}{10}$，<br/>$P\left(X=400\right)=1-P\left(X=200\right)-P\left(X=300\right)=\dfrac{3}{5}$．<br/>故 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>X&200&300&400 \\ \hline<br/>P&\dfrac1{10}&\dfrac{3}{10}&\dfrac{3}{5}\\ \hline<br/>\end{array}\]$EX=200\times\dfrac{1}{10}+300\times\dfrac{3}{10}+400\times\dfrac{3}{5}=350$． 备注2