题目 设数列 $\left\{a_n\right\}$（$n=1,2,3,\cdots$）的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n=2a_n-a_1$，且 $a_1$，$a_2+1$，$a_3$ 成等差数列． 问题1 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=2^n$． 解析1 可以先由通项与和的关系得出相邻两项的关系，再由等差数列的性质得出 $a_1$ 的值，最后由等比数列的知识得出结果．已知 $S_n=2a_n-a_1$，由通项与前 $n$ 项和的关系，得\[a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-2a_{n-1}, n\geqslant2,\]即 $a_n=2a_{n-1}$（$n\geqslant2$），从而\[a_2=2a_1 ,a_3=2a_2=4a_1.\]又因为 $a_1$，$a_2+1$，$a_3$ 成等差数列，得\[a_1+a_3=2\left(a_2+1\right),\]所以\[a_1+4a_1=2\left(2a_1+1\right),\]解得\[a_1=2.\]所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $2$，公比为 $2$ 的等比数列，故\[a_n=2^n.\] 备注1 问题2 记数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求使得 $|T_n-1|<\dfrac1{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值． 答案2 使 $ \left|T_n-1 \right|<\dfrac1{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值为 $10$． 解析2 先根据等比数列的求和公式算出 $T_n$，再根据指数的性质分析不等式即可得出结果．由（1）得 $\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{2^n}$，所以\[ \begin{split}T_n&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\\&\overset {\left[a\right]}=\dfrac{\dfrac12\left[1-\left(\dfrac12\right)^n\right]}{1-\dfrac12}\\&=1-\dfrac{1}{2^n},\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right]$．）由 $ \left|T_n-1 \right|<\dfrac{1}{1000}$，得\[ \left|1-\dfrac{1}{2^n}-1 \right|<\dfrac{1}{1000},\]即\[2^n\overset {\left[b\right]}>1000 .\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）因为\[2^9=512<1000<1024=2^{10},\]所以\[n\geqslant10.\]于是使 $ \left|T_n-1 \right|<\dfrac1{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值为 $10$． 备注2