题目 某市 $A$，$B$ 两所中学的学生组队参加辩论赛，$A$ 中学推荐了 $3$ 名男生、$2$ 名女生，$B$ 中学推荐了 $3$ 名男生、$4$ 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 $3$ 人、女生中随机抽取 $ 3$ 人组成代表队． 问题1 求 $A$ 中学至少有 $1$ 名学生入选代表队的概率； 答案1 $A$ 中学至少有 $1$ 名学生入选代表队的概率为 $\dfrac{99}{100}$． 解析1 注意 $A$ 中学至少有 $1$ 名学生入选代表队的对立事件是 $A$ 中学没有学生入选代表队．由题意，参加集训的男、女生各有 $6$ 名．<br/>参赛学生全从 $B$ 中学抽取（等价于 $A$ 中学没有学生入选代表队）的概率为 $\dfrac{\mathrm C_3^3\mathrm C_4^3}{\mathrm C_6^3\mathrm C_6^3}=\dfrac1{100}$．<br/>因此，$A$ 中学至少有 $1$ 名学生入选代表队的概率为 $1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}$． 备注1 问题2 某场比赛前，从代表队的 $6$ 名队员中随机抽取 $4$ 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 的分布列和数学期望． 答案2 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>X&1&2&3\\ \hline<br/>P&\dfrac15&\dfrac35&\dfrac15\\ \hline<br/>\end{array}\]$X$ 的数学期望为 $2$． 解析2 本题考查离散型随机变量的分布列和数字特征．根据题意，$X$ 的可能取值为 $1$，$2$，$3$．<br/>$P\left(X=1\right)=\dfrac{\mathrm C_3^1\mathrm C_3^3}{\mathrm C_6^4}=\dfrac15$，<br/>$P\left(X=2\right)=\dfrac{\mathrm C_3^2\mathrm C_3^2}{\mathrm C_6^4}=\dfrac35$，<br/>$P\left(X=3\right)=\dfrac{\mathrm C_3^3\mathrm C_3^1}{\mathrm C_6^4}=\dfrac15$，<br/>所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>X&1&2&3\\ \hline<br/>P&\dfrac15&\dfrac35&\dfrac15\\ \hline<br/>\end{array}\]因此 $X$ 的数学期望为\[\begin{split}E\left(X\right)&=1\cdot P\left(X=1\right)+2\cdot P\left(X=2\right)+3\cdot P\left(X=3\right)\\ &=1\cdot\dfrac15+2\cdot\dfrac35+3\cdot\dfrac15=2 .\end{split}\] 备注2