一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设 $BC$ 的中点为 $M$，$GH$ 的中点为 $N$．
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（理）
【标注】
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请将字母 $F$，$G$，$H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；标注答案点 $F$，$G$，$H$ 的位置如图所示．
解析可通过将正方体的平面展开图折叠成正方体来想象、观察各顶点的位置．点 $F$，$G$，$H$ 的位置如图所示． -
证明：直线 $MN\parallel 平面BDH$；标注答案略解析考查线面平行的判定，在已知平面内找到已知直线的平行线是解题的关键．如图，设 $O$ 为 $BD$ 中点，连接 $OM$，$OH$．
因为 $M$，$N$ 分别是 $BC$，$GH$ 的中点，
所以 $OM\parallel CD$，且 $OM=\dfrac12CD$，
$HN\parallel CD$，且 $HN=\dfrac12CD$，
所以 $OM\parallel HN$，$OM=HN$，
所以四边形 $MNHO$ 是平行四边形，
从而 $MN\parallel OH$．
又 $MN\not\subset 平面BDH$，$OH\subset 平面BDH$，
所以 $MN\parallel 平面BDH$． -
求二面角 $A-EG-M$ 的余弦值．标注答案二面角 $A-EG-M$ 的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt2}3$解析作出二面角是解题的关键．因为 $AC\parallel EG$，所以过 $M$ 作 $MP\perp AC$ 于 $P$，过 $P$ 作 $PK\perp EG$ 于 $K$，连接 $KM$，则 $\angle PKM$ 即为二面角 $A-EG-M$ 的平面角．方法一：
如图，连接 $AC$，过 $M$ 作 $MP\perp AC$ 于 $P$，过 $P$ 作 $PK\perp EG$ 于 $K$，连接 $KM$．
在正方体 $ABCD-EFGH$ 中，$AC\parallel EG$，
所以 $MP\perp EG$．
所以 $EG\perp 平面PKM$，从而 $KM\perp EG$．
所以 $\angle PKM$ 是二面角 $A-EG-M$ 的平面角．
设 $AD=2$，则 $CM=1$，$PK=2$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle CMP$ 中，$PM=CM\sin{45^\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle PKM$ 中，$KM=\sqrt{PK^2+PM^2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$．
所以 $\cos \angle PKM=\dfrac{PK}{KM}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$，
即二面角 $A-EG-M$ 的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt2}3$．
方法二：
可以利用向量求解．
如图，以 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow {DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DH}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$．
设 $AD=2$，则 $M\left(1,2,0\right)$，$G\left(0,2,2\right)$，$E\left(2,0,2\right)$，$B\left(2,2,0\right)$，所以 $\overrightarrow{GE}=\left(2,-2,0\right)$，$\overrightarrow{MG}=\left(-1,0,2\right)$．
设平面 $EGM$ 的一个法向量为 $\overrightarrow {n_1}=\left(x,y,z\right)$，
由 $\begin{cases}
\overrightarrow {n_1}\cdot \overrightarrow{GE}=0,\\\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{MG}=0,
\end{cases}$ 得\[\begin{cases}2x-2y=0,\\-x+2z=0,
\end{cases}\]取 $x=2$，得 $\overrightarrow{n_1}=\left(2,2,1\right)$．
在正方体 $ABCD-EFGH$ 中，$DB\perp 平面AEGC$，
则可取平面 $AEG$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=\dfrac 12 \overrightarrow{DB}=\left(1,1,0\right)$，所以\[\begin{split}\cos \left \langle \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right\rangle&\overset {\left[a\right]}=\dfrac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{ \left|\overrightarrow{n_1} \right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2} \right|}
=\dfrac{2\sqrt2}3 ,\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）故二面角$A-EG-M$ 的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt2}3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
