如图，$A$，$B$，$C$，$D$ 为平面四边形 $ABCD$ 的四个内角．
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（理）
【标注】
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证明：$\tan \dfrac{A}{2}=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}$；标注答案略解析左边切化弦后，凑右边的分母即可证得结论．因为\[\begin{split}\tan {\dfrac A2}&\overset {\left[a\right]}=\dfrac{\sin{\dfrac A2}}{\cos {\dfrac A2}}\\ &=\dfrac{2\sin^2{\dfrac A2}}{2\sin{\dfrac A2}\cos\dfrac A2}\\&\overset {\left[b\right]}=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$．）所以 $\tan \dfrac{A}{2}=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}$．
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若 $A+C=180^\circ$，$AB=6$，$BC=3$，$CD=4$，$AD=5$，求 $\tan {\dfrac A2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2}$ 的值．标注答案$ \tan{\dfrac A2}+\tan{\dfrac B2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2}
$ 的值为 $ \dfrac{4\sqrt{10}}{3} $解析先利用第一题的结论并结合诱导公式化简所求代数式，再利用余弦定理求出 $\cos A$ 和 $\cos B$ 的值是解题的关键．求 $\cos A$ 时，可以连接 $BD$．在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 中，同时对 $\angle A$ 和 $\angle C$ 用余弦定理即可得结果．由 $A+C=180^\circ$，得 $C=180^\circ-A$，$D=180^\circ-B$．由 $(1)$，有\[\begin{split}&\tan{\dfrac A2}+\tan{\dfrac B2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2}
\\ =&\dfrac{1-\cos A}{\sin A}+\dfrac{1-\cos B}{\sin{B}}+\dfrac{1-\cos\left(180^\circ-A\right)}{\sin\left(180^\circ-A\right)}+\dfrac{1-\cos\left(180^\circ-B\right)}{\sin\left(180^\circ-B\right)}
\\\overset {\left[c\right]}=&\dfrac2{\sin A}+\dfrac2{\sin{B}}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[c\right]$．）
如图，连接 $BD$．
在 $\triangle ABD$ 中，有\[BD^2\overset {\left[d\right]}=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos A.\]（推导中用到 $\left[d\right]$．）
在 $\triangle BCD$ 中，有\[BD^2\overset {\left[e\right]}=BC^2+CD^2-2BC\cdot CD\cos C.\]（推导中用到 $\left[e\right]$．）又因为 $A+C=180^\circ$，所以\[BD^2\overset {\left[f\right]}=BC^2+CD^2+2BC\cdot CD\cos A .\]（推导中用到 $\left[f\right]$．）则\[\begin{split}\cos A&=\dfrac{AB^2+AD^2-BC^2-CD^2}{2\left(AB\cdot AD+BC\cdot CD\right)}\\&=\dfrac{6^2+5^2-3^2-4^2}{2\left(6\cdot 5+3\cdot 4\right)}\\&=\dfrac37 ,\end{split}\]于是\[\sin A\overset {\left[g\right]}=\sqrt{1-\cos ^2A}= \dfrac{2\sqrt{10}}{7}.\]（推导中用到 $\left[g\right]$．）连接 $AC$，同理可得 $\sin B=\dfrac{6\sqrt{10}}{19} $．所以\[\begin{split}\tan{\dfrac A2}+\tan{\dfrac B2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2}&=\dfrac{2}{\sin A}+\dfrac{2}{\sin B}\\&=\dfrac{2\cdot 7}{2\sqrt{10}}+\dfrac{2\cdot 19}{6\sqrt{10}}\\&=\dfrac{4\sqrt{10}}{3} .\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
