已知函数 $f\left(x\right)=\sin\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}-x\right)\sin x-\sqrt 3\cos ^2x$．
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（理）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期和最大值；标注答案$ {\mathrm \pi} $，$ \dfrac{2-\sqrt 3}{2} $．解析本题的方向是将函数化成正弦型函数的形式．先用诱导公式化简，然后降幂，最后用辅助角公式．函数 $f\left(x\right)$ 可作如下变形\[\begin{split} f\left(x\right)&=\sin\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}-x\right)\sin x-\sqrt 3\cos^2x\\&\overset{\left[a\right]}=\cos x\sin x-\sqrt 3\cos^2x\\&\overset{\left[b\right]}=\dfrac 12\sin 2x-\dfrac{\sqrt 3}{2}\left(1+\cos {2x}\right)\\&=\dfrac 12\sin {2x}-\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos {2x}-\dfrac{\sqrt 3}{2}\\& \overset{\left[c\right]}= \sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)-\dfrac{\sqrt 3}{2}.\end{split} \]（推导中用到：[a]，[b]，[c]）
根据正弦型函数的性质可知 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期为 $ {\mathrm \pi} $，最大值为 $ \dfrac{2-\sqrt 3}{2} $． -
讨论 $f\left(x\right)$ 在 $\left[\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right]$ 上的单调性．标注答案$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\right] $ 上单调递增；在 $ \left[\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12},\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right] $ 上单调递减．解析先由角 $x$ 的范围 $\left[\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right]$ 算得角 $2x-\dfrac {\mathrm \pi} 3$ 的范围，然后根据 $y=\sin t$ 的单调性得到结果．当 $ x\in\left[\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right] $ 时，$0\leqslant 2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\leqslant {\mathrm \pi} $，从而
当 $0\leqslant 2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，即 $ \dfrac{\mathrm \pi} {6}\leqslant x\leqslant \dfrac{5{\mathrm \pi} }{12} $ 时，$ f\left(x\right) $ 单调递增；
当 $ \dfrac{\mathrm \pi} {2}\leqslant 2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\leqslant {\mathrm \pi} $，即 $ \dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\leqslant x\leqslant \dfrac{2{\mathrm \pi} }{3} $ 时，$ f\left(x\right) $ 单调递减．
综上可知，$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\right] $ 上单调递增；在 $ \left[\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12},\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right] $ 上单调递减．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
