如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，$PC\perp 平面ABC$，$PC=3$，$\angle ACB=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$．$D$，$E$ 分别为线段 $AB$，$BC$ 上的点，且 $CD=DE=\sqrt 2$，$CE=2EB=2$．
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（理）
【标注】
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证明：$DE\perp $ 平面 $PCD$；标注答案略解析在面 $PCD$ 上选取 $PC$ 和 $CD$ 两条直线，分别证明它们和 $DE$ 垂直即可．由 $ PC\perp 平面ABC $，$ DE\subset 平面ABC $，
得 $PC\perp DE$．
由 $CE=2$，$CD=DE=\sqrt 2$ 得 $\triangle CDE$ 为等腰直角三角形，
故 $CD\perp DE$．
由 $PC\cap CD=C$，$DE$ 垂直于平面 $PCD$ 内两条相交直线，
故 $DE\perp 平面PCD$． -
求二面角 $A-PD-C$ 的余弦值．标注答案$\dfrac{\sqrt 3}{6}$解析本题可用向量法求二面角，值得注意的是面 $PDC$ 的法向量是已知的向量 $\overrightarrow {DE}$，不需要我们计算．由 $(1)$ 知，$\triangle CDE$ 为等腰直角三角形，$\angle DCE=\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
如图，过 $D$ 作 $DF$ 垂直 $CE$ 于 $F$，易知 $DF=FC=FE=1$．
又已知 $EB=1$，故 $FB=2$．
由 $\angle ACB=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 得 $DF\parallel AC$，$\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{FB}{BC}=\dfrac 23$，
故 $AC=\dfrac 32DF=\dfrac 32$．
以 $C$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CP}$ 的方向为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系$C-xyz$，
则 $C\left(0,0,0\right)$，$P\left(0,0,3\right)$，$A\left(\dfrac 32,0,0\right)$，$E\left(0,2,0\right)$，$D\left(1,1,0\right)$，
由空间向量的坐标运算可求得 $\overrightarrow{ED}=\left(1,-1,0\right)$，$\overrightarrow{DP}=\left(-1,-1,3\right)$，$\overrightarrow{DA}=\left(\dfrac 12,-1,0\right)$．
设平面 $PAD$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=\left(x_1,y_1,z_1\right)$，
由 $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DP}=0$，$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DA}=0$，得 $\begin{cases}-x_1-y_1+3z_1=0,\\ \dfrac 12x_1-y_1=0,\end{cases}$
故可取 $\overrightarrow{n_1}=\left(2,1,1\right)$．
由 $(1)$ 可知 $DE\perp 平面PCD$，故平面 $PCD$ 的法向量$\overrightarrow{n_2}$ 可取为 $\overrightarrow{ED}$，即 $\overrightarrow{n_2}=\left(1,-1,0\right)$，
从而法向量 $\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{n_2}$ 的夹角的余弦值为 $\cos\left\langle \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right\rangle =\dfrac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{{\left|{n_1}\right|}{\left|{n_2}\right|}}=\dfrac{\sqrt 3}{6}$，
故所求二面角$A-PD-C$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt 3}{6}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
