题目 设函数 $f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+ax}{{\mathrm{e}}^x}\left(a\in {\mathbb{R}}\right)$． 问题1 若 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程； 答案1 $ 3x-{\mathrm{e}}y=0 $． 解析1 先令 $f'(0)=0$，求得 $a$ 的值，函数 $f(x)$ 的在 $x=1$ 处的切线即斜率为 $f'(1)$，并过点 $(1,f(1))$ 的直线．对 $f\left(x\right)$ 求导得 $f'\left(x\right)=\dfrac{-3x^2+\left(6-a\right)x+a}{{\mathrm{e}}^x}$．<br/>因为 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处取得极值，所以 $f'\left(0\right)=0$，解得 $a=0$．经验证可知，当 $a=0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 时取得极值，所以 $a=0$ 符合题意．<br/>当 $a=0$ 时，$f\left(x\right)=\dfrac{3x^2}{{\mathrm{e}}^x}$，$f'\left(x\right)=\dfrac{-3x^2+6x}{{\mathrm{e}}^x}$．<br/>故 $f\left(1\right)=\dfrac 3{\mathrm{e}}$，$f'\left(1\right)=\dfrac 3{\mathrm{e}}$，<br/>从而 $f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程为 $y-\dfrac 3{\mathrm{e}}=\dfrac 3{\mathrm{e}}\left(x-1\right)$，化简得 $ 3x-{\mathrm{e}}y=0 $． 备注1 问题2 若 $f\left(x\right)$ 在 $\left[3,+\infty\right)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left[-\dfrac 92,+\infty\right)$． 解析2 求出 $f(x)$ 的单减区间，然后令 $[3,+\infty)$ 为它的减区间的子区间即可．由（1）知 $f'\left(x\right)=\dfrac{-3x^2+\left(6-a\right)x+a}{{\mathrm{e}}^x}$，<br/>令 $g\left(x\right)=-3x^2+\left(6-a\right)x+a$，<br/>由 $g\left(x\right)=0$ 解得 $x_1=\dfrac{6-a-\sqrt{a^2+36}}{6}$，$x_2=\dfrac{6-a+\sqrt{a^2+36}}{6}$．<br/>当 $x<x_1$ 时，$g\left(x\right)<0$，即 $f'\left(x\right)<0$，故 $f\left(x\right)$ 为减函数；<br/>当 $x_1<x<x_2$ 时，$g\left(x\right)>0$，即 $ f'\left(x\right)>0 $，故 $f\left(x\right)$ 为增函数；<br/>当 $x>x_2$ 时，$g\left(x\right)<0$，即 $f'\left(x\right)<0$，故 $f\left(x\right)$ 为减函数．<br/>由 $f\left(x\right)$ 在 $\left[3,+\infty\right)$ 上为减函数，知 $x_2=\dfrac{6-a+\sqrt{a^2+36}}{6}\leqslant 3$，解得 $a\geqslant -\dfrac 92$．<br/>故 $a$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac 92,+\infty\right)$． 备注2