题目 $ S_n $ 为数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和，已知 $ a_n>0 $，$ a_n^2+2a_n=4S_n+3 $，其中 $n\in\mathbb N^*$． 问题1 求 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式； 答案1 $a_n=2n+1\left(n\in \mathbb N^*\right)$ 解析1 利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 关系化简题目条件得到数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 的递推数列，再根据递推数列求通项公式．由已知\[a_n^2+2a_n=4S_n+3\cdots ① ,\]当 $n\geqslant 2$ 时，可得\[a_{n-1}^2+2a_{n-1}=4S_{n-1}+3\cdots ② .\]$ ① - ② $ 得\[ \begin{split}a_n^2-a_{n-1}^2+2\left(a_n-a_{n-1}\right)&=4\left(S_n-S_{n-1}\right)\\&\overset{\left[a\right]}=4a_n,\end{split} \]（推导中用到：$\left[a\right]$）<br/>整理得\[\left(a_n+a_{n-1}\right)\left(a_n-a_{n-1}-2\right)=0.\]因为 $a_n>0$，所以\[a_n=a_{n-1}+2.\]当 $n=1$ 时，可得\[ \begin{split}a_1^2+2a_1&=4S_1+3\\&=4a_1+3,\end{split} \]所以 $a_1=3$（负值舍去）．<br/>所以 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $3$，公差为 $2$ 的等差数列，故 $a_n=2n+1\left(n\in \mathbb N^*\right)$． 备注1 问题2 设 $ b_n=\dfrac{1}{a_na_{n+1}} $，求数列 $ \left\{b_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和． 答案2 $S_n=\dfrac{n}{6n+9} $ 解析2 观察数列 $\left\{{b_n}\right\}$ 的通项，其满足裂项求和法的条件，使用裂项求和方法解决．由（1）知\[ \begin{split}b_n&=\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}\\&\overset{\left[a\right]}=\dfrac 12\left(\dfrac {1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3}\right).\end{split} \]（推导中用到：$\left[a\right]$）<br/>于是数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和\[ \begin{split}S_n&=\dfrac 12\left(\dfrac 13-\dfrac 15+\dfrac 15-\dfrac 17+\cdots+\dfrac {1}{2n+1}-\dfrac {1}{2n+3}\right)\\&=\dfrac12\left(\dfrac 13-\dfrac{1}{2n+3}\right)\\&=\dfrac{n}{6n+9}.\end{split} \] 备注2