如图，四边形 $ ABCD $ 为菱形，$ \angle ABC=120^\circ $，$ E $，$ F $ 是平面 $ ABCD $ 同一侧的两点，$ BE\perp 平面 ABCD $，$ DF\perp 平面 ABCD $，$ BE=2DF $，$ AE\perp EC $．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（理）
【标注】
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证明：$ 平面 AEC\perp 平面 AFC $；标注答案略解析此题易于建立空间坐标系，采用空间向量法解决；要证明两个面垂直只需证明两面法向量垂直即可．因为 $ ABCD$ 为菱形，所以 $ AC\perp BD$．
连接 $BD$，交 $ AC $ 于点 $O$．
以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OB}$ 为 $x$ 轴正方向，$\overrightarrow{OC}$ 为 $y$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$，则 $z$ 轴和 $BE$ 平行．
设菱形 $ABCD$ 边长为 $2$，$DF=h\left(h>0\right)$．
则 $A\left(0,-\sqrt3,0\right)$，$E\left(1,0,2h\right)$，$C\left(0,\sqrt3,0\right)$，$F\left(-1,0,h\right)$．
因为 $ AE\perp EC$，
所以 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{EC}=0$．
而 $\overrightarrow{AE}=\left(1,\sqrt3,2h\right)$，$\overrightarrow{EC}=\left(-1,\sqrt3,-2h\right)$，
所以 $-1+3-4h^2=0$，
解得 $ h=\dfrac{\sqrt2}{2}$，所以 $ F\left(-1,0,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$．
设面 $AEC$ 的法向量为 $\overrightarrow{m}=\left(x_1,y_1,z_1\right)$，面 $AFC$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}=\left(x_2,y_2,z_2\right)$，
则\[\begin{cases}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{AC}=0,\\\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{AE}=0,\end{cases}\]且\[\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}= 0,\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AF}=0,\end{cases}\]而 $\overrightarrow{AC}=\left(0,2\sqrt3,0\right)$，$\overrightarrow{AE}=\left(1,\sqrt3,\sqrt2\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(-1,\sqrt3,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$．
所以\[\begin{cases}2\sqrt 3 y_1=0,\\x_1+\sqrt 3y_1+\sqrt 2z_1=0.\end{cases}\]且\[\begin{cases}2\sqrt 3y_2=0,\\-x_2+\sqrt 3y_2+\dfrac{\sqrt 2}{2}z_2=0.\end{cases}\]可求得 $\overrightarrow{m}=\left(\sqrt2,0,-1\right)$，$\overrightarrow{n}=\left(\sqrt2,0,2\right)$．
因为 $ \overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=0$，
所以 $ 平面 AEC\perp 平面 AFC$． -
求直线 $ AE $ 与直线 $ CF $ 所成角的余弦值．标注答案$\dfrac{\sqrt3}{3}$解析空间直线的夹角可利用两条直线上的向量之间夹角求解．由 $(1)$ 知，$\overrightarrow{AE}=\left(1,\sqrt3,\sqrt2\right)$，$\overrightarrow{CF}=\left(-1,-\sqrt3,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$，所以\[\begin{split}{\left|{\cos\left\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{CF}\right\rangle}\right|}&=\dfrac{{\left|{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CF}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AE}}\right|}{\left|{\overrightarrow{CF}}\right|}}\\&=\dfrac{\sqrt3}{3}.\end{split}\]所以直线 $AE$ 和 $CF$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt3}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
