在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $C_1:x=-2$，圆 $C_2:\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1$，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（文）
【标注】
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求 $C_1$，$C_2$ 的极坐标方程；标注答案$C_1:\rho \cos \theta=-2$，$C_2:\rho^2-2\rho \cos \theta-4\rho \sin \theta+4=0$．解析直接利用直角坐标方程与极坐标方程的坐标转化即可解决．因为\[\begin{cases}x\overset{\left[a\right]}=\rho \cos \theta,\\ y\overset{\left[a\right]}=\rho \sin \theta,\end{cases}\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
所以 $C_1$ 的极坐标方程为\[\rho \cos \theta=-2.\]$C_2$ 的极坐标方程为\[\left(\rho \cos \theta -1\right)^2+\left(\rho \sin \theta-2\right)^2=1,\]即\[\rho^2-2\rho \cos \theta-4\rho \sin \theta+4=0.\] -
若直线 $C_3$ 的极坐标方程为 $\theta=\dfrac{\mathrm \pi} {4}\left(\rho\in \mathbb R\right)$，设 $C_2$ 与 $C_3$ 的交点为 $M$，$N$，求 $\triangle C_2MN$ 的面积．标注答案$\dfrac 12$解析把极坐标系问题转化为直角坐标系问题进行求解．由题可知 $C_3$ 的直角坐标方程为\[y=x , \left(x\geqslant 0\right).\]因为圆 $C_2$ 的圆心 $C_2\left(1,2\right)$ 到 $y=x$，$\left(x\geqslant 0\right)$ 的距离\[d=\dfrac {{\left|{2-1}\right|}}{\sqrt 2}=\dfrac {\sqrt 2}{2},\]所以\[ {\left|{MN}\right|}\overset{\left[b\right]}=2\cdot \sqrt {1^2-\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)^2}=\sqrt 2,\]（推导中用到：$\left[b\right]$）所以\[\begin{split}S_{\triangle C_2MN}&\overset{\left[c\right]}=\dfrac 12\cdot {\left|{MN}\right|}\cdot d\\&=\dfrac 12\cdot \sqrt 2\cdot \dfrac {\sqrt 2}{2}\\&=\dfrac 12.\end{split}\]（推导中用到：$\left[c\right]$）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
