已知函数 $f\left(x\right)={\left|{x+1}\right|}-2{\left|{x-a}\right|}$，$a>0$．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（文）
【标注】
-
当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集；标注答案$\left\{x \left|\right. \dfrac 23<x<2\right\}$解析分区间讨论 $x$ 的值，化简绝对值不等式为一次不等式进行解决．当 $a=1$ 时，\[f\left(x\right)={\left|{x+1}\right|}-2{\left|{x-1}\right|}.\]当 $x\leqslant -1$ 时，不等式 $ f\left(x\right)>1$化为\[x-3>1,\]不等式无解；
当 $-1<x<1$ 时，不等式 $ f\left(x\right)>1$化为\[3x-1>1,\]解得 $\dfrac 23<x<1$；
当 $x\geqslant 1$ 时，不等式 $ f\left(x\right)>1$化为\[3-x>1,\]解得 $1\leqslant x<2$．
所以 $ f\left(x\right)>1$ 的解集为\[\left\{x \left|\right. \dfrac 23<x<2\right\}.\] -
若 $f\left(x\right)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 $6$，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left(2,+\infty\right)$解析分区间讨论 $x$ 的值，将绝对值函数变形为分段函数，确定与 $x$ 轴的交点进而计算所围成三角形的面积．由题可得\[f\left(x\right)=\begin{cases}2a+1-x,x\geqslant a,\\ 3x-2a+1,-1<x<a ,\\x-2a-1,x\leqslant -1. \end{cases}\]当 $x=a$ 时，\[f\left(x\right)=a+1>0;\]当 $x=-1$ 时，\[f\left(x\right)=-2a-2<0.\]令\[2a+1-x=0,\]解得 $x=2a+1$，
令\[3x-2a+1=0,\]解得 $x=\dfrac {2a-1}{3}$，
所以 $ f\left(x\right)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形的面积为\[\begin{split}S\overset{\left[a\right]}=\dfrac 12\cdot {\left|{2a+1-\dfrac{2a-1}{3}}\right|}\cdot \left(a+1\right)=\dfrac 23\left(a+1\right)^2,\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
因为\[\dfrac 23\left(a+1\right)^2>6,\]解得 $a>2$．
所以 $ a$ 的取值范围为 $\left(2,+\infty\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
