在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 上的点,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 $2$ 倍.
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷(理)
【标注】
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    三角
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    解三角形
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    三角形面积公式
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    三角
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    解三角形
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    正弦定理
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    三角
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    解三角形
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    三角
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    三角恒等变换
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    诱导公式
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    三角
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    解三角形
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    余弦定理
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    三角
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    解三角形
  1. 求 $\dfrac{\sin B}{\sin C}$;
    标注
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      三角
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      解三角形
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      三角形面积公式
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      正弦定理
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      解三角形
    答案
    $\dfrac{1}{2}$
    解析
    本小题是三角形面积公式和正弦定理的简单应用.因为 $S_{\triangle {ABD}}=2S_{\triangle {ACD}}$,
    所以由三角形的面积公式得\[ \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD}{\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin \angle DAC}=2, \]因为 $\angle BAD=\angle DAC$,所以 $\sin\angle BAD=\sin\angle DAC$,故 $\dfrac{AB}{AC}=2$.
    在 $\triangle ABC$ 中,由正弦定理可得 $\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}$,
    所以 $\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{1}{2}$.
  2. 若 $AD=1$,$DC=\dfrac{\sqrt 2}{2}$,求 $BD$ 和 $AC$ 的长.
    标注
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      三角恒等变换
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    答案
    $BD=\sqrt 2$,$ AC=1 $
    解析
    充分利用 $\angle BAD=\angle DAC$ 及 $\angle ADB$ 与 $\angle ADC$ 互补即可.在 $\triangle ADC$ 中,由正弦定理得,$\dfrac{AD}{\sin C}=\dfrac{DC}{\sin\angle DAC} \quad \cdots \cdots ① $
    在 $\triangle BAD$ 中,由正弦定理得,$\dfrac{AD}{\sin B}=\dfrac{BD}{\sin BAD} \quad \cdots \cdots ② $
    因为 $AD=1$,$\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{1}{2}$,由 $\dfrac{ ① }{ ② }$ 得,$BD=\sqrt 2$.
    设 $\angle ADB=\theta$,则 $\angle ADC={\mathrm \pi} -\theta$.
    在 $\triangle ACD$ 中,${AC}^2=1+\left(\dfrac {\sqrt2}2\right)^2-2\times 1\times {\dfrac {\sqrt 2}2}\cos\left({\mathrm \pi} -\theta\right)$,即\[{AC}^2=\dfrac 3 2 +\sqrt 2\cos \theta ,\quad \cdots \cdots ③ \]在 $\triangle ABD$ 中,${AB}^2=1+2-2\times \sqrt 2 \cos \theta$即\[{AB}^2=3-2\sqrt 2\cos \theta. \quad \cdots \cdots ④ \]又 $\dfrac{AB}{AC}=2$,由 $ ③④ $ 得 $ AC=1 $.
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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