在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 上的点，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 $2$ 倍．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
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求 $\dfrac{\sin B}{\sin C}$；标注答案$\dfrac{1}{2}$解析本小题是三角形面积公式和正弦定理的简单应用．因为 $S_{\triangle {ABD}}=2S_{\triangle {ACD}}$，
所以由三角形的面积公式得\[ \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD}{\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin \angle DAC}=2, \]因为 $\angle BAD=\angle DAC$，所以 $\sin\angle BAD=\sin\angle DAC$，故 $\dfrac{AB}{AC}=2$．
在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理可得 $\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}$，
所以 $\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{1}{2}$． -
若 $AD=1$，$DC=\dfrac{\sqrt 2}{2}$，求 $BD$ 和 $AC$ 的长．标注答案$BD=\sqrt 2$，$ AC=1 $解析充分利用 $\angle BAD=\angle DAC$ 及 $\angle ADB$ 与 $\angle ADC$ 互补即可．在 $\triangle ADC$ 中，由正弦定理得，$\dfrac{AD}{\sin C}=\dfrac{DC}{\sin\angle DAC} \quad \cdots \cdots ① $
在 $\triangle BAD$ 中，由正弦定理得，$\dfrac{AD}{\sin B}=\dfrac{BD}{\sin BAD} \quad \cdots \cdots ② $
因为 $AD=1$，$\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{1}{2}$，由 $\dfrac{ ① }{ ② }$ 得，$BD=\sqrt 2$．
设 $\angle ADB=\theta$，则 $\angle ADC={\mathrm \pi} -\theta$．
在 $\triangle ACD$ 中，${AC}^2=1+\left(\dfrac {\sqrt2}2\right)^2-2\times 1\times {\dfrac {\sqrt 2}2}\cos\left({\mathrm \pi} -\theta\right)$，即\[{AC}^2=\dfrac 3 2 +\sqrt 2\cos \theta ,\quad \cdots \cdots ③ \]在 $\triangle ABD$ 中，${AB}^2=1+2-2\times \sqrt 2 \cos \theta$即\[{AB}^2=3-2\sqrt 2\cos \theta. \quad \cdots \cdots ④ \]又 $\dfrac{AB}{AC}=2$，由 $ ③④ $ 得 $ AC=1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
