题目

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某公司为了解用户对其产品的满意度，从 $ A $，$ B $ 两地区分别随机调查了 $20$ 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：\[ \begin{array}{ccccccccccc}
A地区 :&62&73&81&92&95&85&74&64&53&76\\
&78&86&95&66&97&78&88&82&76&89\\
B地区 :&73&83&62&51&91&46&53&73&64&82\\
&93&48&65&81&74&56&54&76&65&79\\
\end{array} \]

【难度】

【出处】

2015年高考全国II卷（理）

【标注】

知识点
>
计数与概率
>
统计
>
数据的记录
知识点
>
计数与概率
>
统计
>
数据的数字特征
题型
>
计数与概率
知识点
>
计数与概率
>
随机事件的概率
>
条件概率与独立
题型
>
计数与概率
>
概率计算题
知识点
>
计数与概率
>
加法原理与乘法原理

根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；\[ \begin{array}{c|c|c}
A地区 && B地区 \\\hline
&4&\\
&5&\\
&6&\\
&7&\\
&8&\\
&9&\\
\end{array} \]
标注
- 知识点
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  计数与概率
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  统计
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  数据的记录
- 知识点
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  计数与概率
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  统计
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  数据的数字特征
- 题型
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  计数与概率
答案

$ A $ 地区满意度评分的平均值比 $ B $ 地区的高，$ A $ 地区满意度评分分布比较集中，并且分数偏高

解析

本小题主要考查对茎叶图的认识以及从茎叶图中读取信息的能力．所求茎叶图为\[ \begin{array}{cccccc|c|ccccc} \\
&&A& 地 & 区 &&&&B& 地 & 区 && \\\hline
&&&&&&4&6&8&&& \\
&&&&&3&5&1&3&4&6& \\
&&&6&4&2&6&2&4&5&5&\\
8&8&6&6&4&3&7&3&3&4&6&9 \\
9&8&6&5&2&1&8&1&2&3&& \\
&&7&5&5&2&9&1&3&&& \\
\end{array} \]由图可知 $ A $ 地区满意度评分的平均值比 $ B $ 地区的高，$ A $ 地区满意度评分分布比较集中，并且分数偏高．
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
满意度评分 & 低于70分 & 70分到89分 & 不低于90分 \\\hline
满意度等级 & 不满意 & 满意 & 非常满意 \\ \hline
\end{array} \]记事件 $C$：“$A$ 地区用户的满意度等级高于 $B$ 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 $C$ 的概率．
标注
- 知识点
  >
  计数与概率
  >
  随机事件的概率
  >
  条件概率与独立
- 题型
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  计数与概率
  >
  概率计算题
- 知识点
  >
  计数与概率
  >
  加法原理与乘法原理
答案

$\dfrac{12}{25} $

解析

本小题主要考查互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式．设 $ A $ 地区三个等级：非常满意，满意，不满意分别为事件：$A_1$，$A_2$，$A_3$，$ B $ 地区的三个等级分别为事件 $B_1$，$B_2$，$B_3$，且事件 $A_i\left(i=1,2,3\right)$ 与 $B_j\left(j=1,2,3\right)$ 相互独立．
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，得，
$P\left(A_1\right)=\dfrac{4}{20}=\dfrac15$，$P\left(A_2\right)=\dfrac{12}{20}=\dfrac35$，$P\left(A_3\right)=\dfrac{4}{20}=\dfrac15$，
$P\left(B_1\right)=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}$，$P\left(B_2\right)=\dfrac{8}{20}=\dfrac25$，$P\left(B_3\right)=\dfrac{10}{20}=\dfrac12$．
又 $C=A_1B_2\cup A_1B_3\cup A_2B_3$，
所以\[ \begin{split}P\left(C\right)&\overset{\left[a\right]}=P\left(A_1B_2\right)+P\left(A_1B_3\right)+P\left(A_2B_3\right)\\&\overset{\left[b\right]}=P\left(A_1\right) P\left(B_2\right)+P\left(A_1\right) P\left(B_3\right)+P\left(A_2\right) P\left(B_3\right)\\&=\dfrac{12}{25} . \end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$）