如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=16$，$BC=10$，$AA_1=8$，点 $E$，$F$ 分别在 $A_1B_1$，$D_1C_1$ 上，$A_1E=D_1F=4$．过点 $E$，$F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
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在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；标注答案略解析本小题其实就是要求作出符合条件的长方体的截面．交线围成的正方形 $EFNM$ 如图所示．
注：具体画法为，在 $AB$ 上取 $AM=10$，在 $DC$ 上取 $DN=10$，连接 $EM$，$MN$，$NF$ 即可． -
求直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值．标注答案$\dfrac{4\sqrt 5}{15}$解析这是典型的求线面角问题，用几何法和向量法都能解决，向量法能有效地降低思维难度．如图，以 $DA$，$DC$，$DD_1$ 分别为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴建立空间直角坐标系．
则 $F\left(0,4,8\right)$，$N\left(0,10,0\right)$，$M\left(10,10,0\right)$，$A\left(10,0,0\right)$．
所以 $ \overrightarrow{AF}=\left(-10,4,8\right)$，$\overrightarrow{NF}=\left(0,-6,8\right)$，$\overrightarrow{NM}=\left(10,0,0\right)$．
设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}=\left(x,y,z\right)$
则 $ \begin{cases}\overrightarrow{NF}\cdot\overrightarrow{n}=-6y+8z=0,\\ \overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{n}=10\cdot x=0,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=0,\\y=\dfrac {4}{3}z.\end{cases}$ 取 $z=3$，得\[\overrightarrow {n}=\left(0,4,3\right).\]又 $\overrightarrow{AF}=\left(-10,4,8\right)$，设直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角为 $\theta$，则\[\sin\theta\overset{\left[a\right]}=\left|\dfrac{\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow n}{{\left|{\overrightarrow{AF}}\right|}\cdot {\left|{\overrightarrow n}\right|}}\right|=\dfrac{4\sqrt 5}{15}.\]（推导中用到[a]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
