题目 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1:\begin{cases}<br/>x=t\cos\alpha,\\y=t\sin\alpha,<br/>\end{cases}$（$t$ 为参数，$t\ne 0$），其中 $0\leqslant \alpha<{\mathrm \pi} $．在以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_2:\rho=2\sin \theta$，$C_3:\rho=2\sqrt 3\cos \theta$． 问题1 求 $C_2$ 与 $C_3$ 交点的直角坐标； 答案1 $\left(0,0\right)$ 和 $\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac32\right)$ 解析1 求两个已知极坐标方程的曲线的交点，一般先将极坐标方程转化为直角坐标方程，在联立求解．由直角坐标与极坐标的互化公式得：<br/>$C_2$ 的直角坐标方程为 $x^2+y^2=2y$；<br/>$C_3$ 的直角坐标方程为 $x^2+y^2=2\sqrt3 x$．<br/>由\[\begin{cases}x^2+y^2=2y, \\ x^2+y^2=2\sqrt3 x.\end{cases}\]解得\[ \begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}或 \begin{cases}x=\dfrac{\sqrt3}2,\\y=\dfrac32.\end{cases}\]所以交点的直角坐标为 $\left(0,0\right)$ 和 $\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac32\right)$． 备注1 问题2 若 $C_1$ 与 $C_2$ 相交于点 $A$，$C_1$ 与 $C_3$ 相交于点 $B$，求 ${\left|{AB}\right|}$ 的最大值． 答案2 $4$ 解析2 本小题是一道极坐标与参数方程以及三角变换的综合题．$C_1$ 的直角坐标方程为 $y=\tan\alpha x\left(x\ne0\right)$ 或 $x=0\left(x\ne0\right)$，所以其极坐标方程为 $\theta=\alpha\left(\rho\in \mathbb R,\rho\ne 0\right)$，其中 $0\leqslant \alpha<{\mathrm \pi} $．因此 $A$ 的极坐标为 $\left(2\sin\alpha,\alpha\right) $，$B$ 的极坐标为 $\left(2\sqrt 3\cos\alpha,\alpha\right) $．<br/>所以\[\begin{split}|AB|&\overset{\left[a\right]}=|2\sin\alpha-2\sqrt 3\cos\alpha|\\&\overset{\left[b\right]}=4\left|\sin\left(\alpha-\dfrac{\mathrm \pi} 3\right)\right|.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$）<br/>当 $\alpha=\dfrac {5{\mathrm \pi} }{6}$ 时，${\left|{AB}\right|}$ 取得最大值，最大值为 $4$． 备注2