题目 已知函数 $f\left(x\right)=\sin ^2x-\sin ^2\left(x-\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right)$，$x\in \mathbb R$． 问题1 求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期； 答案1 ${\mathrm \pi} $ 解析1 先由三角恒等变换化简解析式，再求周期．由已知，有\[\begin{split}f\left(x\right)&\overset{\left[a\right]}=\dfrac {1-\cos {2x}}{2}-\dfrac {1-\cos \left(2x-\dfrac {\mathrm \pi} {3}\right)}{2}\\&\overset{\left[b\right]}=\dfrac 12\left(\dfrac 12\cos {2x}+\dfrac {\sqrt 3}{2}\sin {2x}\right)-\dfrac 12\cos {2x}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{4}\sin {2x}-\dfrac 14\cos {2x}\\&\overset{\left[c\right]}=\dfrac 12\sin \left(2x-\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right) .\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$，$\left[c\right]$）<br/>所以 $f\left(x\right)$ 的最小正周期 $T=\dfrac {\mathrm 2{\mathrm \pi} }{2}={\mathrm \pi} $． 备注1 问题2 求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-\dfrac {\mathrm \pi} {3},\dfrac {\mathrm \pi} {4}\right]$ 上的最大值和最小值． 答案2 最大值为 $\dfrac {\sqrt 3}{4}$，最小值为 $-\dfrac 12$ 解析2 本小题考查求正弦型函数的性质．由 $ x\in \left[-\dfrac{\mathrm \pi} 3,\dfrac{\mathrm \pi} 4\right] $ 得\[ 2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6\in \left[-\dfrac{5{\mathrm \pi} }6,\dfrac{\mathrm \pi} 3\right] .\]由正弦函数的性质可知，当 $ 2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6=\dfrac{\mathrm \pi} 3 $，即 $ x=\dfrac{\mathrm \pi} 4 $ 时，函数取得最大值\[ \dfrac 12\sin \dfrac{\mathrm \pi} 3=\dfrac{\sqrt 3}4; \]当 $ 2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6=-\dfrac{\mathrm \pi} 2 $，即 $ x=-\dfrac{\mathrm \pi} 6 $ 时，函数取得最小值\[ \dfrac 12\sin \left(-\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)=-\dfrac 12. \]所以 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-\dfrac {\mathrm \pi} {3},\dfrac {\mathrm \pi} {4}\right]$ 上的最大值为 $\dfrac {\sqrt 3}{4}$，最小值为 $-\dfrac 12$． 备注2