题目 已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}-\sqrt2\sin^2{\dfrac x2}$． 问题1 求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期； 答案1 $2{\mathrm \pi} $ 解析1 利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，得到正弦型函数，再计算其周期．由题意得\[\begin{split}f\left(x\right)&\overset{\left[a\right]}=\dfrac{\sqrt2}{2}\sin{x}-\dfrac{\sqrt2}{2}\left(1-\cos x\right)\\&\overset{\left[b\right]}=\sin\left(x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)-\dfrac{\sqrt2}{2},\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$，$\left[b\right]$）<br/>所以 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $2{\mathrm \pi} $． 备注1 问题2 求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-{\mathrm \pi} ,0\right]$ 上的最小值． 答案2 $-1-\dfrac{\sqrt2}{2}$ 解析2 分析所给区间上三角函数单调性变化，找出最值．因为 $-{\mathrm \pi} \leqslant x\leqslant0$，所以 $-\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}\leqslant x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\leqslant\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．<br/>当 $x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}=-\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，即 $x=-\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最小值．<br/>所以 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-{\mathrm \pi} ,0\right]$ 上的最小值为 $f\left(-\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}\right)=-1-\dfrac{\sqrt2}{2}$． 备注2