题目 $A$，$B$ 两组各有 $7$ 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：\[\begin{array}{cccccccc}<br/>A 组:&10,&11,&12,&13,&14,&15,&16;\\<br/>B 组:&12,&13,&15,&16,&17,&14,&a.\\<br/>\end{array}\]假设所有病人的康复时间相互独立，从 $A$，$B$ 两组随机各选 $1$ 人，$A$ 组选出的人记为甲，$B$ 组选出的人记为乙． 问题1 求甲的康复时间不少于 $14$ 天的概率； 答案1 $\dfrac37$ 解析1 符合条件的数据有 $ 3 $ 条，数据共有 $ 7 $ 条，根据古典概型知识进行计算．设事件 $A_i$ 表示：甲是 $A$ 组的第 $i$ 个人，事件 $B_i$ 表示：乙是 $B$ 组的第 $i$ 个人，其中 $i=1,2,\cdots,7$．<br/>则 $P\left(A_i\right) = P\left(B_i\right)=\dfrac17$，$i=1,2,\cdots,7$．<br/>由题意知，事件“甲的康复时间不少于 $14$ 天”等价于“甲是 $A$ 组的第 $5$ 人，或者第 $6$ 人，或者第 $7$ 人”，即事件 $A_5\cup A_6\cup A_7$，所以甲的康复时间不少于 $14$ 天的概率是\[\begin{split}P\left(A_5\cup A_6\cup A_7\right)&\overset{\left[a\right]}=P\left(A_5\right)+P\left(A_6\right)+P\left(A_7\right)\\&=\dfrac37.\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$） 备注1 问题2 如果 $a=25$，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； 答案2 $\dfrac{10}{49} $ 解析2 在简单的古典概型问题中，可以对满足要求的数据进行枚举来计算所求概率．因为所有病人的康复时间相互独立，所以 $P\left(A_iB_i\right)=P\left(A_i\right)P\left(B_i\right)=\dfrac{1}{49}$，$i=1,2,3,\cdots ,7$．<br/>设事件 $C$ 表示：甲的康复时间比乙的康复时间长．<br/>由题意知 $C=A_4B_1\cup A_5B_1\cup A_6B_1\cup A_7B_1\cup A_5B_2\cup A_6B_2\cup A_7B_2\cup A_7B_3\cup A_6B_6\cup A_7B_6 $，<br/>因此\[\begin{split}P\left(C\right)&\overset{\left[a\right]}=P\left(A_4B_1\right)+P\left(A_5B_1\right)+P\left(A_6B_1\right)+P\left(A_7B_1\right)+P\left(A_5B_2\right)\\&+P\left(A_6B_2\right)+P\left(A_7B_2\right)+P\left(A_7B_3\right)+P\left(A_6B_6\right)+P \left( A_7B_6\right)<br/>\\& =10P\left( A_4 B_1\right)<br/>\\&\overset{\left[b\right]}=10P \left( A_4 \right) P \left( B_1 \right)\\&=\dfrac{10}{49} .\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$，$\left[b\right]$） 备注2 问题3 当 $a$ 为何值时，$A$，$B$ 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 答案3 $a= 11$ 或 $a=18$ 解析3 $A$ 组数据为等差数列，要使两组数据方差一样，则数据的起伏程度应该一样，则 $B$ 组数据也为等差数列时满足要求．将 $B$ 组数据调整为 $a,12,13,14,15,16,17 $ 或 $ 12,13,14,15,16,17,a $，可知，当 $a= 11$ 或 $a=18$ 时，两组数据的方差相等． 备注3