题目 选修 4-5：不等式选讲<br/>设 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$，证明： 问题1 $a+b\geqslant 2$； 答案1 略． 解析1 对题中等式两边平方，再运用均值不等式，问题得证．由 $a+b=\dfrac1a+\dfrac1b$，$a,b>0$，得\[\begin{split}\left(a+b\right)^2&=\left(a+b\right)\cdot\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\\&=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2\\&\overset{\left[a\right]}\geqslant4.\end{split}\]（推导中用到[a]）<br/>因此，$a+b\geqslant2$． 备注1 问题2 $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 不可能同时成立． 答案2 略． 解析2 用反证法证明，假设两边能同时成立，推出矛盾即可．假设 $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 同时成立，则由 $a^2+a<2$ 及 $a>0$ 可得\[0<a<1,\]同理，\[0<b<1,\]从而 $ab<1$ 这与 $ab=1$ 相矛盾，故 $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 不可能同时成立． 备注2