某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 $4$ 个红球、$6$ 个白球的甲箱和装有 $5$ 个红球、$5$ 个白球的乙箱中，各随机摸出 $1$ 个球．在摸出的 $2$ 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 $1$ 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
【难度】
【出处】
2015年高考湖南卷（理）
【标注】
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求顾客抽奖 $1$ 次能获奖的概率；标注答案$\dfrac{7}{10}$．解析能获奖分为获得一等奖和或得二等奖两种情况．记 $A_1=\left\{从甲箱中摸出的1个球是红球\right\}$，$A_2=\left\{从乙箱中摸出的1个球是红球\right\}$，$B_1=\left\{顾客抽奖1次获一等奖\right\}$，$B_2 =\left\{顾客抽奖1次获二等奖\right\}$，$C=\left\{顾客抽奖1次能获奖\right\}$．
由题意知 $A_1$ 与 $A_2$ 相互独立，$A_1\overline{A_2}$ 与 $\overline{A_1}A_2$ 互斥，$B_1$ 与 $B_2$ 互斥，且 $B_1=A_1A_2$，$B_2=A_1\overline{A_2}+\overline{A_1}A_2$，$C=B_1+B_2$．
又因为 $P\left(A_1\right)=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$，$P\left(A_2\right)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$，所以\[P\left(B_1\right)=P\left(A_1A_2\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\right)=\dfrac{1}{5},\]\[\begin{split}P\left(B_2\right)&=P\left(A_1\overline{A_2}+\overline{A_1}A_2\right)\\&=P\left(A_1\overline{A_2}\right)+P\left(\overline{A_1}A_2\right)\\&=P\left(A_1\right)P\left(\overline{A_2}\right)+P\left(\overline{A_1}\right)P\left(A_2\right)\\&=\dfrac{2}{5}\times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\times\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2}.\end{split}\]因此，\[P\left(C\right)=P\left(B_1+B_2\right)=P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)=\dfrac{7}{10}.\]所以，顾客抽奖 $1$ 次能获奖的概率为 $\dfrac{7}{10}$． -
若某顾客有 $3$ 次抽奖的机会，记该顾客在 $3$ 次抽奖中获一等奖的次数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望．标注答案$X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X&0&1&2&3 \\ \hline
P&\dfrac{64}{125}&\dfrac{48}{125}&\dfrac{12}{125}&\dfrac{1}{125} \\ \hline
\end{array}\]$X$ 的数学期望为 $E\left(X\right)=3\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}$．解析顾客每次抽奖或得一等奖的概率均相等，因此，三次抽奖中获得一等奖的次数符合二项分布．顾客抽奖 $3$ 次可视为 $3$ 次独立重复实验．
由（1）知，顾客抽奖 $1$ 次获一等奖的概率为 $\dfrac{1}{5}$，
所以 $X\sim B\left(3,\dfrac{1}{5}\right)$，于是\[\begin{split}P\left(X=0\right)&={\mathrm C}_3^0\left(\dfrac{1}{5}\right)^0\left(\dfrac{4}{5}\right)^3=\dfrac{64}{125} ,\\
P\left(X=1\right)&={\mathrm C}_3^1\left(\dfrac{1}{5}\right)^1\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{48}{125} ,\\
P\left(X=2\right)&={\mathrm C}_3^2\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\left(\dfrac{4}{5}\right)^1=\dfrac{12}{125} ,\\
P\left(X=3\right)&={\mathrm C}_3^3\left(\dfrac{1}{5}\right)^3\left(\dfrac{4}{5}\right)^0=\dfrac{1}{125} ,\end{split}\]由此求得 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X&0&1&2&3 \\ \hline
P&\dfrac{64}{125}&\dfrac{48}{125}&\dfrac{12}{125}&\dfrac{1}{125} \\ \hline
\end{array}\]$X$ 的数学期望为 $E\left(X\right)=3\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
