已知 $x,y\in{\mathbb{R}}$，向量 $\overrightarrow \alpha=\begin{pmatrix}
1\\ -1
\end{pmatrix}$ 是矩阵 $\sf A=\begin{pmatrix}x & 1\\ y & 0
\end{pmatrix}$ 的属于特征值 $-2$ 的一个特征向量，求矩阵 $\sf A$ 以及它的另一个特征值．
1\\ -1
\end{pmatrix}$ 是矩阵 $\sf A=\begin{pmatrix}x & 1\\ y & 0
\end{pmatrix}$ 的属于特征值 $-2$ 的一个特征向量，求矩阵 $\sf A$ 以及它的另一个特征值．
【难度】
【出处】
2015年高考江苏卷
【标注】
-
标注答案$ A=\begin{pmatrix}
-1&1\\2&0
\end{pmatrix} $．矩阵 $ \sf A $ 的另一个特征值为 $ 1 $．解析本题考查矩阵的特征向量及特征值．由已知，得 $ \sf A\overrightarrow \alpha=-2\overrightarrow \alpha $，
即 $ \begin{pmatrix}
x&1\\y&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1\\y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2
\end{pmatrix} $，
则 $ \begin{cases}
x-1=-2,\\y=2,
\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}x=-1,\\y=2,
\end{cases} $
所以矩阵 $ A=\begin{pmatrix}
-1&1\\2&0
\end{pmatrix} $．
从而矩阵 $ \sf A $ 的特征多项式 $ f\left(\lambda\right)=\left(\lambda+2\right)\left(\lambda-1\right) $，
所以矩阵 $ \sf A $ 的另一个特征值为 $ 1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
