设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $T$，$T$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 $100$ 的样本进行统计，结果如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
T\left(分钟\right)&25&30&35&40 \\ \hline
频数\left(次\right)&20&30&40&10 \\ \hline
\end{array}\]
T\left(分钟\right)&25&30&35&40 \\ \hline
频数\left(次\right)&20&30&40&10 \\ \hline
\end{array}\]
【难度】
【出处】
2015年高考陕西卷（理）
【标注】
-
求 $T$ 的分布列与数学期望 $ET$；标注答案\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
T&25&30&35&40 \\ \hline
P&0.2&0.3&0.4&0.1 \\ \hline
\end{array}\]$ET=32$（分钟）．解析先用频率估计概率，即可求得 $T$ 的分布列，然后求出期望．由统计结果可得 $T$ 的频率分布为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
T\left(分钟\right)&25&30&35&40 \\ \hline
频率&0.2&0.3&0.4&0.1 \\ \hline
\end{array}\]以频率估计概率得 $T$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
T&25&30&35&40 \\ \hline
P&0.2&0.3&0.4&0.1 \\ \hline
\end{array}\]从而 $ET=25\times 0.2+30\times 0.3+35\times 0.4+40\times 0.1=32$（分钟）． -
刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 $50$ 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 $120$ 分钟的概率．标注答案$0.91$．解析通过题意可知，去的时间加回来的时间不超过 $70$ 分钟即可．根据分布列列出各种情况，继而求出概率．设 $T_1$，$T_2$ 分别表示往、返所需时间，$T_1$，$T_2$ 的取值相互独立，且与 $T$ 的分布列相同．
设事件 $A$ 表示“刘教授共用时间不超过 $120$ 分钟”，由于讲座时间为 $50$ 分钟，所以事件 $A$ 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 $70$ 分钟”．
方法一：
$\begin{split}P\left(A\right)&=P\left(T_1+T_2\leqslant 70\right)\\& \overset{\left[a\right]}=P\left(T_1=25, T_2\leqslant 45\right)+P\left(T_1=30, T_2\leqslant 40\right)\\&+P\left(T_1=35, T_2\leqslant 35\right)+P\left(T_1=40, T_2\leqslant 30\right)\\&=0.2\times 1+0.3\times 1+0.4\times 0.9+0.1\times 0.5\\&=0.91 .\end{split}$
（推导中用到：[a]）
方法二：
$\begin{split}P\left(\overline A\right)&\overset{\left[a\right]}=P\left(T_1+T_2>70\right)\\& \overset{\left[a\right]}=P\left(T_1=35, T_2=40\right)+P\left(T_1=40, T_2=35\right)+P\left(T_1=40, T_2=40\right)\\&=0.4\times 0.1+0.1\times 0.4+0.1\times 0.1\\&=0.09 .\end{split}$
（推导中用到：[a]）
故 $P\left(A\right)=1-P\left(\overline A\right)=0.91$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
