如图，在几何体 $ABCDE$ 中，四边形 $ABCD$ 是矩形，$AB\perp 平面BEC$，$BE\perp EC$，$AB=BE=EC=2$，$G$，$F$ 分别是线段 $BE$，$DC$ 的中点．
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
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求证：$GF\parallel 平面ADE$；标注答案略解析本小题考查线面平行的证明，通过寻找平行四边形，得到线线平行，问题得到解决．解法一：
如图，取 $AE$ 的中点 $H$，连接 $HG$，$HD$．
又 $G$ 是 $BE$ 的中点，所以 $GH\parallel AB$，且 $GH=\dfrac 12 AB$．
又 $F$ 是 $CD$ 的中点，所以 $DF=\dfrac 12CD$．
由四边形 $ABCD$ 是矩形，得 $AB\parallel CD$，$AB=CD$，所以 $GH\parallel DF$，且 $GH=DF$，从而四边形 $HGFD$ 是平行四边形，所以 $GF\parallel DH$．
又 $DH\subset 平面ADE$，$GF\not\subset 平面ADE$，所以 $GF\parallel 平面ADE$．
解法二：
如图，取 $AB$ 的中点 $M$，连接 $MG$，$MF$．
又 $G$ 是 $BE$ 的中点，可知 $GM\parallel AE$．
又 $AE\subset 平面ADE$，$GM\not\subset 平面ADE$，所以 $GM\parallel 平面ADE$．
在矩形 $ABCD$ 中，由 $M$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点，得 $MF\parallel AD$．
又 $AD\subset 平面ADE$，$MF\not\subset 平面ADE$，所以 $MF\parallel 平面ADE$．
又因为 $GM\cap MF=M$，$GM\subset 平面GMF$，$MF\subset 平面GMF$，所以 $平面GMF \parallel 平面ADE$．
因为 $ GF\subset 平面GMF$，所以 $GF\parallel 平面ADE$． -
求平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角的余弦值．标注答案$\dfrac 23$解析本题考查二面角余弦值的求法，根据题中位置关系，建立合适的空间直角坐标系，求出两面的法向量，进而求出它们的夹角余弦值，也即二面角的余弦值的绝对值，结合题意，得到答案．如图，在平面 $BEC$ 内，过点 $B$ 作 $BQ\parallel EC$．
因为 $BE\perp CE$，所以 $BQ\perp BE$．
又因为 $AB\perp 平面BEC$，所以 $AB\perp BE$，$AB\perp BQ$．
以 $B$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{BA}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 $A\left(0,0,2\right)$，$B\left(0,0,0\right)$，$E\left(2,0,0\right)$，$F\left(2,2,1\right)$．
因为 $AB\perp 平面BEC$，所以 $\overrightarrow{BA}=\left(0,0,2\right)$ 为平面 $BEC$ 的法向量．
设 $\overrightarrow{n}=\left(x,y,z\right)$ 为平面 $AEF$ 的法向量．
又 $\overrightarrow{AE}=\left(2,0,-2\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(2,2,-1\right)$，由\[\begin{cases}
\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\
\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AF}=0,
\end{cases}\]整理，得\[\begin{cases}2x-2z=0,\\
2x+2y-z=0,
\end{cases}\]取 $z=2$，得 $\overrightarrow{n}=\left(2,-1,2\right)$．
从而\[\cos\left\langle \overrightarrow{n},\overrightarrow{BA}\right\rangle=\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BA}\right|}=\dfrac{4}{3\times 2}=\dfrac 23,\]所以平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角的余弦值为 $\dfrac 23$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
