在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}
x=1+3\cos t,\\
y=-2+3\sin t
\end{cases}$（$t$ 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴）中，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt 2\rho\sin\left(\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 4\right)=m\left(m\in{\mathbb{R}}\right)$．
x=1+3\cos t,\\
y=-2+3\sin t
\end{cases}$（$t$ 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴）中，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt 2\rho\sin\left(\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 4\right)=m\left(m\in{\mathbb{R}}\right)$．
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
-
求圆 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；标注答案$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9$；$x-y+m=0$．解析利用 $\cos t^2+\sin t^2=1$ 消去参数，将参数方程化为普通方程，再根据\[\begin{cases}x^2+y^2=\rho^2,\\x=\rho\cos\theta,\\y=\rho\sin\theta,\end{cases}\]将 $\rho,\theta$ 化为 $x,y$，得到直角坐标方程．消去参数 $t$，得到圆 $C$ 的普通方程为 $\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9$．
由 $\sqrt 2\rho\sin\left(\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 4\right)=m$，得\[\rho\sin\theta-\rho\cos\theta-m=0.\]所以直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x-y+m=0$． -
设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离等于 $2$，求 $m$ 的值．标注答案$-3\pm 2\sqrt 2$．解析根据点到直线距离公式，表示出圆心到直线的距离，得到 $m$ 的值．由（1）知，圆心为 $\left(1,2\right)$，直线为 $x-y+m=0$．
根据点到直线距离公式，得\[\dfrac{ \left|1-\left(-2\right)+m \right|}{\sqrt 2}=2,\]解得 $m=-3\pm 2\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
