题目 已知 $a>0$，$b>0$，$c>0$，函数 $f\left(x\right)={\left|{x+a}\right|}+{\left|{x-b}\right|}+c$ 的最小值为 $4$． 问题1 求 $a+b+c$ 的值； 答案1 $4$． 解析1 根据绝对值三角不等式，求出 $f\left(x\right)$ 的最小值，令其等于 $4$，问题解决，注意取等条件．因为\[\begin{split}f\left(x\right)&={\left|{x+a}\right|}+{\left|{x-b}\right|}+c\\&\overset{\left[a\right]}\geqslant {\left|{\left(x+a\right)-\left(x-b\right)}\right|}+c\\&={\left|{a+b}\right|}+c,\end{split}\]（推导中用到[a]）<br/>当且仅当 $-a\leqslant x\leqslant b$ 时，等号成立．<br/>又 $a>0$，$b>0$，所以 ${\left|{a+b}\right|}=a+b$，因此 $f\left(x\right)$ 的最小值为 $a+b+c$．<br/>由已知 $f\left(x\right)$ 的最小值为 $4$，所以 $a+b+c=4$． 备注1 问题2 求 $\dfrac 14a^2+\dfrac 19b^2+c^2$ 的最小值． 答案2 $\dfrac 87$． 解析2 由第一问结论，结合柯西不等式，问题得到解决，注意取等条件．由（1）知 $a+b+c=4$，由柯西不等式，得\[\begin{split}<br/>&\left(\dfrac 14a^2+\dfrac 19b^2+c^2\right)\left(4+9+1\right)\\&\geqslant \left(\dfrac a2\times 2+\dfrac b3\times 3+c\times 1\right)^2<br/>\\& =\left(a+b+c\right)^2\\&=16,<br/>\end{split}\]因此，\[\dfrac 14a^2+\dfrac 19b^2+c^2\geqslant \dfrac 87.\]当且仅当 $\dfrac{\frac 12a}2=\dfrac{\frac 13b}3=\dfrac c1$，即 $a=\dfrac 87$，$b=\dfrac{18}7$，$c=\dfrac 27$ 时等号成立．<br/>故 $\dfrac 14a^2+\dfrac 19b^2+c^2$ 的最小值是 $\dfrac 87$． 备注2