题目 设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比为 $q$．已知 $b_1=a_1$，$b_2=2$，$q=d$，$S_{10}=100$． 问题1 求数列 $\left\{a_n\right\}$，$\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 \[\begin{cases}<br/>a_n=2n-1,\\<br/>b_n=2^{n-1}<br/>\end{cases} 或 \begin{cases}a_n=\dfrac 19\left(2n+79\right),\\<br/>b_n=9\cdot \left(\dfrac 29\right)^{n-1}.<br/>\end{cases}\] 解析1 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 均按等差与等比数列的公式求出基本量即可．因为 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，所以由题意有\[\begin{cases}<br/>10a_1+45d=100,\\<br/>a_1d=2,<br/>\end{cases}\]即\[\begin{cases}2a_1+9d=20,\\<br/>a_1d=2,<br/>\end{cases}\]解得\[\begin{cases}a_1=1,\\<br/>d=2<br/>\end{cases} 或 \begin{cases}a_1=9,\\<br/>d=\dfrac 29.<br/>\end{cases}\]故 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式\[\begin{cases}<br/>a_n=2n-1,\\<br/>b_n=2^{n-1}<br/>\end{cases} 或 \begin{cases}a_n=\dfrac 19\left(2n+79\right),\\<br/>b_n=9\cdot \left(\dfrac 29\right)^{n-1}.<br/>\end{cases}\] 备注1 问题2 当 $d>1$ 时，记 $c_n=\dfrac{a_n}{b_n}$，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$． 答案2 $T_n=6-\dfrac{2n+3}{2^{n-1}}$． 解析2 本题要求和的数列是差比数列，应用错位相减法进行计算求和．由 $d>1$，知 $ a_n=2n-1$，$b_n=2^{n-1}$，故 $c_n=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}$，于是\[\begin{split}T_n&=1+\dfrac 32+\dfrac 5{2^2}+\dfrac 7{2^3}+\dfrac 9{2^4}+\cdots+\dfrac{2n-1}{2^{n-1}} ,& \quad \cdots \cdots ① \\ \dfrac 12T_n&=\dfrac 12+\dfrac 3{2^2}+\dfrac 5{2^3}+\dfrac 7{2^4}+\cdots+\dfrac{2n-3}{2^{n-1}}+\dfrac{2n-1}{2^n} . &\quad \cdots \cdots ② \end{split}\]$ ① - ② $ 可得\[\dfrac 12T_n=2+\dfrac 12+\dfrac 1{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{2n-1}{2^n}=3-\dfrac{2n+3}{2^n} ,\]故 $T_n=6-\dfrac{2n+3}{2^{n-1}}$． 备注2