某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A$，$B$ 两种奶制品．生产 $1$ 吨 $A$ 产品需鲜牛奶 $2$ 吨，使用设备 $1$ 小时，获利 $1000$ 元；生产 $1$ 吨 $B$ 产品需鲜牛奶 $1.5$ 吨，使用设备 $1.5$ 小时，获利 $1200$ 元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的 $2$ 倍，设备每天生产 $A$，$B$ 两种产品时间之和不超过 $12$ 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
W & 12 & 15 & 18 \\ \hline
P & 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ \hline
\end{array}\]该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$（单位：元）是一个随机变量．
W & 12 & 15 & 18 \\ \hline
P & 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ \hline
\end{array}\]该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$（单位：元）是一个随机变量．
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（理）
【标注】
-
求 $Z$ 的分布列和均值；标注答案\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
Z & 8160 & 10200 & 10800 \\ \hline
P & 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ \hline
\end{array}\]$E\left(Z\right)=9708$．解析本题需要根据线性规划确定 $Z$ 的值，然后列出分布列，求均值．设每天 $A$，$B$ 两种产品的生产数量分别为 $x$，$y$，相应的获利为 $z$，则有\[\begin{cases}
2x+1.5y\leqslant W,\\
x+1.5y\leqslant 12,\\
2x-y\geqslant 0,\\
x\geqslant 0,y\geqslant 0.
\end{cases} \quad \cdots \cdots ① \]目标函数为 $z=1000x+1200y$．
将 $z=1000x+1200y$ 变形为 $l:y=-\dfrac 56x+\dfrac{z}{1200}$，设 $l_0:y=-\dfrac 56x$．
当 $W=12$ 时，$ ① $ 表示的平面区域如图 $ 1 $ 阴影部分所示，三个顶点分别为 $A\left(0,0\right)$，$B\left(2.4,4.8\right)$，$C\left(6,0\right)$．
平移直线 $l_0$ 知当直线 $l$ 过点 $B$，即当 $x=2.4$，$y=4.8$ 时，$z$ 取最大值，故最大获利\[Z=z_{\max}=2.4\times 1000+4.8\times 1200=8160 \left(元\right).\]当 $W=15$ 时，① 表示的平面区域如图 $ 2 $ 阴影部分所示，三个顶点分别为 $A\left(0,0\right)$，$B\left(3,6\right)$，$C\left(7.5,0\right)$．
平移直线 $l_0$ 知当直线 $l$ 过点 $B$，即当 $x=3$，$y=6$ 时，$z$ 取得最大值，故最大获利\[Z=z_{\max}=3\times 1000+6\times 1200=10200\left(元\right).\]当 $W=18$ 时，① 表示的平面区域如图 $ 3 $ 阴影部分所示，四个顶点分别为 $A\left(0,0\right)$，$B\left(3,6\right)$，$C\left(6,4\right)$，$D\left(9,0\right)$．
平移直线 $l_0$ 知当直线 $l$ 过点 $C$，即当 $x=6$，$y=4$ 时，$z$ 取得最大值，故最大获利\[Z=z_{\max}=6\times 1000+4\times 1200=10800\left(元\right).\]故最大获利 $Z$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
Z & 8160 & 10200 & 10800 \\ \hline
P & 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ \hline
\end{array}\]因此，$E\left(Z\right)=8160\times 0.3+10200\times 0.5+10800\times 0.2=9708$．
-
若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 $3$ 天中至少有 $1$ 天的最大获利超过 $10000$ 元的概率．标注答案$0.973$．解析根据上一问的概率，求对立事件的概率即可．由（1）知，一天最大获利超过 $10000$ 元的概率 $p_1=P\left(Z>10000\right)=0.5+0.2=0.7$，
由二项分布，$3$ 天中至少有 $1$ 天最大获利超过 $10000$ 元的概率为 $P=1-\left(1-p_1\right)^3=1-0.3^3=0.973$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
