题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$．已知 $A=\dfrac{\mathrm \pi} 4$，$b^2-a^2=\dfrac 12c^2$． 问题1 求 $\tan C$ 的值； 答案1 $\tan C=2$． 解析1 本题需要先根据正弦定理转化为角之间的关系，然后利用诱导公式、倍角半角公式等来处理．由 $b^2-a^2=\dfrac 12c^2$ 及正弦定理得\[{\sin^2}B-\sin^2A=\dfrac 12{\sin^2}C,\]即\[{\sin^2}B-\dfrac 12=\dfrac 12{\sin^2}C.\]所以 $-\cos{2B}={\sin^2}C$．<br/>又由 $A=\dfrac{\mathrm \pi} 4$，得\[\begin{split}-\cos{2B}&=-\cos\left[2\left({\mathrm \pi} -A-C\right)\right]\\&\overset{\left[a\right]}=\sin{2C}\\&\overset{\left[b\right]}=2\sin C\cos C,\end{split}\]（推导中用到：[a][b]）所以 ${\sin^2}C=2\sin C\cos C $，解得 $\tan C=2$． 备注1 问题2 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $3$，求 $b$ 的值． 答案2 $3$． 解析2 本题的关键在于利用正弦定理找到 $b$ 与 $c$ 的关系，然后就可以利用面积公式求出 $b$ 了．因为 $\tan C=2$，$C\in\left(0,{\mathrm \pi} \right)$，所以由同角三角函数的基本关系可得\[\sin C=\dfrac{2\sqrt 5}5,\cos C=\dfrac{\sqrt 5}5.\]而\[\sin B\overset{\left[a\right]}=\sin\left(A+C\right)=\sin\left(\dfrac{\mathrm \pi} 4+C\right),\]（推导中用到：）所以 $\sin B=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．<br/>由正弦定理得 $c=\dfrac{2\sqrt 2b}3$．<br/>又因为 $A=\dfrac{\mathrm \pi} 4$，$\dfrac 12bc\sin A=3$，所以 $bc=6\sqrt 2$，故 $b=3$． 备注2