已知函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b\left(a,b\in{\mathbb{R}}\right)$，记 $M\left(a,b\right)$ 是 ${\left|{f\left(x\right)}\right|}$ 在区间 $\left[-1,1\right]$ 上的最大值．
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（理）
【标注】
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证明：当 ${\left|{a}\right|}\geqslant 2$ 时，$M\left(a,b\right)\geqslant 2$；标注答案略解析本题是二次函数求最值的问题，需要先确定函数的单调性，注意绝对值的作用．由\[f\left(x\right)=\left(x+\dfrac a2\right)^2+b-\dfrac{a^2}4\]得 $f\left(x\right)$ 的对称轴为直线\[x=-\dfrac a2.\]由 ${\left|{a}\right|}\geqslant 2$，得 ${\left|{-\dfrac a2}\right|}\geqslant 1$，故 $f\left(x\right)$ 在 $\left[-1,1\right]$ 上单调，
所以 $M\left(a,b\right)=\max\left\{ \left|\right. f\left(1\right) \left|\right. , \left|\right. f\left(-1\right)|\right\}$．
当 $a\geqslant 2$ 时，由\[f\left(1\right)-f\left(-1\right)=2a\geqslant 4\]得\[\max\left\{f\left(1\right),-f\left(-1\right)\right\}\geqslant 2,\]即 $M\left(a,b\right)\geqslant 2$．
当 $a\leqslant -2$ 时，由\[f\left(-1\right)-f\left(1\right)=-2a\geqslant 4\]得\[\max\left\{f\left(-1\right),-f\left(1\right)\right\}\geqslant 2,\]即 $M\left(a,b\right)\geqslant 2$．
综上，当 ${\left|{a}\right|}\geqslant 2$ 时，$M\left(a,b\right)\geqslant 2$． -
当 $a$，$b$ 满足 $M\left(a,b\right)\leqslant 2$ 时，求 ${\left|{a}\right|}+{\left|{b}\right|}$ 的最大值．标注答案$3$．解析本题可由最大值小于等于 $2$ 得到端点处的值 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 都小于等于 $2$，然后利用绝对值三角不等式即可求解．由 $M\left(a,b\right)\leqslant 2$ 得\[{\left|{1+a+b}\right|}={\left|{f\left(1\right)}\right|}\leqslant 2 ,\\ \left|{1-a+b}\right|={\left|{f\left(-1\right)}\right|}\leqslant 2.\]故 ${\left|{a+b}\right|}\leqslant 3$，${\left|{a-b}\right|}\leqslant 3$．
由\[ {\left|{a}\right|}+{\left|{b}\right|}= \begin{cases}{\left|{a+b}\right|},ab\geqslant 0,\\ {\left|{a-b}\right|},ab<0, \end{cases} \]得 ${\left|{a}\right|}+{\left|{b}\right|}\leqslant 3$．
当 $a=2$，$b=-1$ 时，${\left|{a}\right|}+{\left|{b}\right|}=3$，且 ${\left|{x^2+2x-1}\right|}$ 在 $\left[-1,1\right]$ 上的最大值为 $2$，即 $M\left(2,-1\right)=2$．
所以 ${\left|{a}\right|}+{\left|{b}\right|}$ 的最大值为 $3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
