在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知向量 $\overrightarrow m=\left(\dfrac{\sqrt 2}{2},-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$，$\overrightarrow n=\left(\sin x,\cos x\right)$，$x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$．
【难度】
【出处】
2015年高考广东卷（理）
【标注】
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若 $\overrightarrow m\perp \overrightarrow n$，求 $\tan x$ 的值；标注答案$ \tan x=1$解析考查了平面向量数量积的坐标公式，然后利用同角三角函数的商关系，求得 $\tan x$ 的值．难度不大．若 $ \overrightarrow m\perp \overrightarrow n $，则\[ \overrightarrow m\cdot \overrightarrow n\overset{\left[a\right]}=0. \]（推导中用到：[a]）
由平面向量数量积的坐标公式得\[\dfrac{\sqrt 2}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt 2}{2}\cos x=0 ,\]所以 $ \tan x=1$． -
若 $\overrightarrow m$ 与 $\overrightarrow n$ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，求 $x$ 的值．标注答案$ x=\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12} $．解析计算数量积有两个公式，第（2）问给出两个向量的夹角，题中条件又有坐标，且求坐标中的未知数，故需要利用两个公式列出等量关系，得到等量关系后，再结合辅助角公式，求解三角方程．因为 $\overrightarrow m$ 与 $ \overrightarrow n $ 的夹角为 $ \dfrac{\mathrm \pi} {3} $，所以\[\overrightarrow m\cdot \overrightarrow n\overset{\left[b\right]}={\left|{\overrightarrow m}\right|}\cdot {\left|{\overrightarrow n}\right|}\cos\dfrac{\mathrm \pi} {3},\]（推导中用到：[b]）
即\[\dfrac{\sqrt 2}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt 2}{2}\cos x\overset{\left[c\right]}=\dfrac 12 ,\]（推导中用到：[c]）
由和差角公式得\[ \sin\left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=\dfrac 12.\]又 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $，所以 $ x-\dfrac{\mathrm \pi} {4}\in\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)$，所以\[x-\dfrac{\mathrm \pi} {4}=\dfrac{\mathrm \pi} {6},\]即 $ x=\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
