设 $f\left(x\right)= \sin x\cos x-\cos ^2\left(x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)$．
【难度】
【出处】
2015年高考山东卷（理）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left[-\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} ,\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} \right]\left(k\in \mathbb Z\right)$；单调递减区间是 $\left[\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} ,\dfrac {3{\mathrm \pi} }{4}+k{\mathrm \pi} \right]\left(k\in \mathbb Z\right)$．解析此题属于三角恒等变换与三角函数性质综合问题．解决这此类题的一般思路是先利用三角恒等变换化简，然后利用正弦型函数的图象与性质解题．函数\[\begin{split}f\left(x\right)=&\sin x\cos x-\cos^2\left(x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)\\\overset{\left[a\right]}=&\dfrac {\sin {2x}}{2}-\dfrac {1+\cos \left(2x+\dfrac {\mathrm \pi} {2}\right)}{2}\\\overset{\left[b\right]}=&\dfrac {\sin {2x}}{2}-\dfrac {1-\sin {2x}}{2}\\=&\sin {2x}-\dfrac 12\end{split} .\]（推导中用到：[a]，[b]）
由\[-\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} \leqslant 2x\leqslant \dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} ,k\in\mathbb Z,\]可得\[-\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} \leqslant x\leqslant \dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} ,k\in\mathbb Z ;\]由\[\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} \leqslant 2x\leqslant \dfrac {3{\mathrm \pi} }{2}+2k{\mathrm \pi} ,k\in\mathbb Z,\]可得\[\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} \leqslant x\leqslant \dfrac {3{\mathrm \pi} }{4}+k{\mathrm \pi} ,k\in\mathbb Z .\]所以 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left[-\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} ,\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} \right]\left(k\in\mathbb Z\right)$；单调递减区间是 $\left[\dfrac {\mathrm \pi} {4}+k{\mathrm \pi} ,\dfrac {3{\mathrm \pi} }{4}+k{\mathrm \pi} \right]\left(k\in\mathbb Z\right)$ -
在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$．若 $f\left(\dfrac A2\right)=0$，$a=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．标注答案$\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac {2+\sqrt 3}{4}$．解析此题是典型的求三角形面积最大值问题．主要用到了余弦定理与均值不等式．由 $f\left(\dfrac {A}{2}\right)=\sin A-\dfrac 12=0$，得 $\sin A=\dfrac 12$，由题意知 $A$ 为锐角，所以 $\cos A=\dfrac {\sqrt 3}{2}$．
由余弦定理可得\[1+\sqrt 3 bc=b^2+c^2,\]又由均值不等式得\[b^2+c^2\geqslant 2bc,\]故\[1+\sqrt 3 bc\geqslant 2bc,\]所以\[bc\leqslant 2+\sqrt 3,\]当且仅当 $b=c$ 时等号成立．
因此 $S=\dfrac 12bc\sin A\leqslant \dfrac {2+\sqrt 3}{4}$．所以 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac {2+\sqrt 3}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
