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  数列

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  数列的递推公式
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  数列

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  求数列的通项公式

$a_n=\begin{cases}
3, &n=1,\\ 3^{n-1},&n\geqslant 2.
\end{cases}$

本小问是数列求通项问题．题中所给的条件是有关通项与前 $n$ 项和的关系，故求通项公式时，可选用由通项与和的关系求通项公式的方法来解题．因为 $2S_n=3^n+3$，所以 $2a_1=3+3$，故 $a_1=3$．当 $n\geqslant 2$ 时，\[2S_{n-1}=3^{n-1}+3,\]此时\[2a_n\overset{\left[a\right]}=2S_n-2S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2\times 3^{n-1},\]（推导中用到：[a]）
即\[a_n=3^{n-1} \left(n\geqslant 2\right),\]所以 $a_n=\begin{cases}
3, &n=1,\\ 3^{n-1},&n\geqslant 2
\end{cases}$．

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  数列的求和方法

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  数列求和的错位相减法
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  数列求和

$T_n=\dfrac {13}{12}-\dfrac {6n+3}{4\times 3^n}$．

本小问是数列求和问题．数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项可看成是一个等差数列乘以一个等比数列，故求前 $n$ 和时，选用错位相减法．因为 $a_nb_n={\log_3}{a_n}$，所以当 $n=1$ 时，$b_1=\dfrac 13$．所以 $T_1=b_1=\dfrac 13$．
当 $n\geqslant 2$ 时，\[b_n=3^{1-n}{\log_3}{3^{n-1}}=\left(n-1\right)\cdot 3^{1-n} .\]故\[\begin{split}T_n&=b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n\\&=\dfrac 13+\left[1\times 3^{-1}+2\times 3^{-2}+\cdots+\left(n-1\right)\times 3^{1-n}\right],\end{split}\]所以\[3T_n=1+\left[1\times 3^0+2\times 3^{-1}+\cdots+\left(n-1\right)\times 3^{2-n}\right] ,\]两式相减，得\[\begin{split}2T_n\overset{\left[b\right]}=&\dfrac 23+\left(3^0+ 3^{-1}+3^{-2}+\cdots +3^{2-n}\right)-\left(n-1\right)\times 3^{1-n}\\\overset{\left[c\right]}=&\dfrac 23+\dfrac {1-3^{1-n}}{1-3^{-1}}-\left(n-1\right)\times 3^{1-n}\\=&\dfrac {13}{6}-\dfrac {6n+3}{2\times 3^n} ,\end{split}\]（推导中用到：[b]，[c]）
所以 $T_n=\dfrac {13}{12}-\dfrac {6n+3}{4\times 3^n}$．经检验，$n=1$ 时也成立．
综上可得 $T_n=\dfrac {13}{12}-\dfrac {6n+3}{4\times 3^n}$．