若 $n$ 是一个三位正整数，且 $n$ 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$ 为“三位递增数”（如 $137$，$359$，$567$ 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 $1$ 个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被 $5$ 整除，参加者得 $0$ 分；若能被 $5$ 整除，但不能被 $10$ 整除，得 $-1$ 分；若能被 $10$ 整除，得 $1$ 分．
【难度】
【出处】
2015年高考山东卷（理）
【标注】
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写出所有个位数字是 $5$ 的“三位递增数”；标注答案$125$，$135$，$145$，$235$，$245$，$345$．解析此题考察了对定义“三位递增数”的理解．个位数字是 $5$ 的“三位递增数”有 $125$，$135$，$145$，$235$，$245$，$345$．
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若甲参加活动，求甲得分 $X$ 的分布列和数学期望 $EX$．标注答案甲得分的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
X & 0 & -1 & 1 \\ \hline
P&\dfrac 23&\dfrac {1}{14}&\dfrac {11}{42} \\ \hline
\end{array}\]数学期望是 $EX=\dfrac{4}{21}$．解析本小问是考查离散型随机变量的分布列与数字特征．难点和易错点是基本事件空间，此题的基本事件看似有顺序，但实际上，一旦选取三个数，它们的就有大小关系，故位置已经确定，不需要全排列，所以全部“三位递增数”的个数为 ${\mathrm C}_9^3$．由题意知，全部“三位递增数”的个数为 ${\mathrm C}_9^3=84$，
随机变量 $X$ 的取值为：$0$，$-1$，$1$，因此\[\begin{split}&P\left(X=0\right)\overset{\left[a\right]}=\dfrac {{\mathrm C}_8^3}{{\mathrm C}_9^3}\overset{\left[b\right]}=\dfrac 23 , \\&P\left(X=-1\right)\overset{\left[a\right]}=\dfrac {{\mathrm C}_4^2}{{\mathrm C}_9^3}\overset{\left[b\right]}=\dfrac {1}{14} , \\&P\left(X=1\right)\overset{\left[c\right]}=1-\dfrac {1}{14}-\dfrac 23=\dfrac {11}{42} .\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]，[c]）
所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
X & 0 & -1 & 1 \\ \hline
P&\dfrac 23&\dfrac {1}{14}&\dfrac {11}{42} \\ \hline
\end{array}\]则\[EX\overset{\left[d\right]}=0\times \dfrac 23+\left(-1\right)\times \dfrac {1}{14}+1\times \dfrac {11}{42}=\dfrac {4}{21}.\]（推导中用到：[d]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
