题目 等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 ${S_n}$，已知 ${a_1} = 10$，${a_2}$ 为整数，且 ${S_n} \leqslant {S_4}$． 问题1 求 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式； 答案1 ${a_n} = 13 - 3n$． 解析1 本小问主要考查了数列的基本量，解决本题的关键条件是“${S_n} \leqslant {S_4}$”，由此可以得到等差数列的前四项和最大，$d<0$ 以及 $a_4\geqslant 0$，$a_5\leqslant 0$．由此即可解决此题．由 ${a_1} = 10$，${a_2}$ 为整数知，等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差$d$ 为整数．<br/>又 ${S_n} \leqslant {S_4}$，故根据等差数列的性质知\[{a_4} \geqslant 0,{a_5} \leqslant 0,\]于是\[10 + 3d \geqslant 0,10 + 4d \leqslant 0,\]解得\[ - \dfrac{10}{3} \leqslant d \leqslant - \dfrac{5}{2},\]因此 $d = - 3$，故数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式为 ${a_n} = 13 - 3n$． 备注1 问题2 设 ${b_n} = \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}$，求数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和 ${T_n}$． 答案2 $\dfrac{n}{10 \left(10 - 3n\right)}$． 解析2 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是分式形式，求和时可以尝试用裂项求和的方法求和．用裂项相消法可求得 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．<br/>因为\[{b_n} = \dfrac{1}{{\left( {13 - 3n} \right)\left( {10 - 3n} \right)}} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{10 - 3n} - \dfrac{1}{13 - 3n}} \right),\]于是\[\begin{split}{T_n} &= {b_1} + {b_2} + \cdots + {b_n} \\&= \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{10}} \right) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}} \right) + \cdots + \left( {\dfrac{1}{10 - 3n} - \dfrac{1}{13 - 3n}} \right)} \right] \\&= \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{10 - 3n} - \dfrac{1}{10}} \right) \\&= \dfrac{n}{{10\left( {10 - 3n} \right)}}.\end{split}\] 备注2