设每个工作日甲、乙、丙、丁 $4$ 人需使用某种设备的概率分别为 $0.6$，$0.5$，$0.5$，$0.4$，各人是否需使用设备相互独立．
【难度】
【出处】
2014年高考大纲卷（理）
【标注】
-
求同一工作日至少 $ 3 $ 人需使用设备的概率；标注答案$0.31$．解析本小题是对独立事件与互斥事件的考查，注意要对事件进行分类，分别计算对应的概率．记 ${A_i}$ 表示事件：同一工作日乙、丙恰有 $i$ 人需使用设备，$i = 0,1,2$；
$B$ 表示事件：甲需使用设备；
$C$ 表示事件：丁需使用设备；
$D$ 表示事件：同一工作日至少 $ 3 $ 人需使用设备．则 $D$ 包括恰有 $3$ 人使用设备和恰有 $4$ 人使用设备两种情况．
根据题意得\[P\left( B \right) = 0.6,P\left( C \right) = 0.4,\]根据事件的独立性可得\[P\left( {A_i} \right) = {\mathrm{C}}_2^i \times {0.5^2},i = 0,1,2.\]所以根据互斥事件及事件的独立性有\[\begin{split}P\left( D \right) &= P\left( {{A_1} B C + {A_2} B + {A_2} \overline B C} \right) \\&= P\left( {{A_1} BC} \right) + P\left( {{A_2} B} \right) + P\left( {{A_2} \overline B C} \right) \\&= P\left( {A_1} \right)P\left( B \right)P\left( C \right) + P\left( {A_2} \right)P\left( B \right) + P\left( {A_2} \right)P\left( {\overline B} \right)P\left( C \right) \\&= 0.31.\end{split}\] -
$ X $ 表示同一工作日需使用设备的人数，求 $ X $ 的数学期望．标注答案$2$．解析本题是对离散型随机变量的分布列与数字特征的考查．$X$ 的可能取值为 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$，根据互斥事件及事件的独立性可求得
$\begin{split}P\left( {X = 0} \right) &= P\left( {\overline B {A_0} \overline C } \right) \\&= P\left( {\overline B } \right)P\left( {A_0} \right)P\left( {\overline C } \right) \\&= \left( {1 - 0.6} \right) \times {0.5^2} \times \left( {1 - 0.4} \right) \\&= 0.06,\end{split}$
$\begin{split} P\left( X = 1 \right) & = P\left( B \cdot {A_0} \cdot \overline C + \overline B \cdot {A_0} \cdot C + \overline B \cdot {A_1} \cdot \overline C \right) \\& = P\left( B \right)P\left( {A_0} \right)P\left( {\overline C } \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A_0} \right)P\left( C \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A_1} \right)P\left( {\overline C } \right) \\&= 0.25,\end{split}$
$\begin{split} P\left( {X = 4} \right) & = P\left( {{A_2} \cdot B \cdot C} \right)\\& = P\left( {A_2} \right)P\left( B \right)P\left( C \right) \\& = 0.06,\end{split}$
$P\left( {X = 3} \right) = P\left( D \right) - P\left( {X = 4} \right) = 0.25,$
$\begin{split} P\left( {X = 2} \right) & = 1 - P\left( {X = 0} \right)- P\left( {X = 1} \right) - P\left( {X = 3} \right) - P\left( {X = 4} \right) \\& = 1 - 0.06 - 0.25 - 0.25 - 0.06 = 0.38.\end{split}$
所以数学期望为\[\begin{split}EX&= 0 \times P\left( {X = 0} \right) + 1 \times P\left( {X = 1} \right) + 2 \times P\left( {X = 2} \right) + 3 \times P\left( {X = 3} \right) + 4 \times P\left( {X = 4} \right) \\&= 0.25 + 2 \times 0.38 + 3 \times 0.25 + 4 \times 0.06 = 2.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
