设常数 $a \geqslant 0$，函数 $f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} + a}}{{{2^x} - a}}$．
【难度】
【出处】
2014年高考上海卷（理）
【标注】
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若 $a = 4$，求函数 $y = f\left( x \right)$ 的反函数 $y = {f^{ - 1}}\left( x \right)$；标注答案解析由 $y = \dfrac{{{2^x} + 4}}{{{2^x} - 4}}$，解得\[{2^x} = \dfrac{{4\left( {y + 1} \right)}}{y - 1},\]由 $\dfrac{{4\left( {y + 1} \right)}}{y - 1} > 0$，得\[y < - 1 或y > 1,\]且\[x = {\log _2}\dfrac{{4\left( {y + 1} \right)}}{y - 1},\]所以，所求反函数为\[{f^{ - 1}}\left( x \right) = {\log _2}\dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{x - 1} \left( {x < - 1 或 x > 1} \right).\]
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根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f\left( x \right)$ 的奇偶性，并说明理由．标注答案解析① 当 $a = 0$ 时，$f\left( x \right) = 1$，$x \in {\mathbb{R}}$，则 $f\left( x \right)$ 是偶函数；
② 当 $a = 1$ 时，$f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}}$，定义域为\[\left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right),\]且\[f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{2^{ - x}} + 1}}{{{2^{ - x}} - 1}} = - \dfrac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}} = - f\left( x \right),\]则 $f\left( x \right)$ 是奇函数；
③ 当 $0 < a \ne 1$ 时，定义域为 $\left( { - \infty ,{{\log }_2}a} \right) \cup \left( {{{\log }_2}a, + \infty } \right)$ 不关于原点对称，
则 $f\left( x \right)$ 既不是奇函数，也不是偶函数．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
