如图，某公司要在 $A$，$B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $CD $，其中 $D$ 为顶端，$AC$ 长 $35$ 米，$CB$ 长 $80$ 米．设点 $A$，$B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha $ 和 $\beta $．
【难度】
【出处】
2014年高考上海卷（理）
【标注】
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设计中 $CD$ 是铅垂方向．若要求 $\alpha \geqslant 2\beta $，问 $CD$ 的长至多为多少（结果精确到 $0.01$ 米）？标注答案至多为 $28.28$ 米解析设出 $CD$ 的长，表达出 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$，由 $\tan \alpha \geqslant \tan {2\beta}$ 可解．设 $CD$ 的长为 $x$ 米，则\[\tan \alpha=\dfrac{x}{35},\tan \beta =\dfrac{x}{80},\]因为\[0 \leqslant2\beta \leqslant \alpha<\dfrac{\mathrm \pi} {2},\]所以\[\tan \alpha \geqslant \tan {2\beta},\]故\[\tan \alpha \geqslant \dfrac{2\tan \beta}{1-\tan^2\beta},\]即\[\dfrac{x}{35}\geqslant \dfrac{2\cdot \dfrac{x}{80}}{1-\dfrac{x^2}{6400}}=\dfrac{160x}{6400-x^2},\]解得\[0<x \leqslant 20\sqrt{2}\approx28.28,\]即 $CD$ 的长至多为 $28.28$ 米．
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施工完成后，$CD$ 与铅垂方向有偏差．现在实测得 $\alpha = 38.12^\circ$，$ \beta = 18.45^\circ $，求 $CD$ 的长（结果精确到 $0.01$ 米）．标注答案$26.93$ 米解析由正弦定理在 $\triangle ABD$ 中可求出 $BD$，再在 $\triangle BCD$ 中由余弦定理可求出 $CD$．设 $DB=a$，$CD=m$，则\[\angle ADB=180^\circ-\alpha-\beta=123.43^\circ,\]由正弦定理得\[\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{AB}{\sin \angle ADB},\]即\[a=\dfrac{115\sin 38.12^\circ}{\sin 123.43^\circ}\approx 85.06,\]所以\[m=\sqrt{80^2+a^2-160a\cos 18.45^\circ}\approx26.93,\]因此，$CD$ 的长度为 $26.93$ 米．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
