设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对边的长分别是 $a$，$b$，$c$，且 $b = 3$，$c = 1$，$A = 2B$．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（理）
【标注】
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求 $a$ 的值；标注答案$a$ 的值为 $2\sqrt{3}$．解析先把角的等量关系转化为三角函数值的等量关系，再同时利用正弦和余弦定理"化角为边"计算即可．因为 $A=2B$，所以\[\sin A=\sin 2B\overset {\left[a\right]}=2\sin B\cos B,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）由正弦定理和余弦定理，得\[a=2b\cdot \frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac},\]所以 $a=2\sqrt{3}$．
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求 $\sin \left(A + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right)$ 的值．标注答案$\sin \left(A + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right)$ 的值为 $ \dfrac{4-\sqrt{2}}{6} $．解析已知三边求角时用余弦定理，得到相应角后再利用和差角公式计算即可．由余弦定理，得\[\cos A =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} =-\frac{1}{3},\]由于 $0<A<{\mathrm \pi} $，所以\[\sin A\overset {\left[b\right]} =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A} =\frac{2\sqrt{2}}{3},\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）故\[\begin{split}\sin \left(A+\frac{{\mathrm \pi} }{4}\right) & \overset {\left[c\right]}=\sin A\cos \frac{{\mathrm \pi} }{4}+\cos A\sin \frac{\mathrm \pi} {4} \\& =\frac{4-\sqrt{2}}{6}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[c\right]$．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
