甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 $ 5 $ 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 $\dfrac{2}{3}$，乙获胜的概率为 $\dfrac{1}{3}$，各局比赛结果相互独立．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（理）
【标注】
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求甲在 $ 4 $ 局以内（含 $ 4 $ 局）赢得比赛的概率；标注答案甲在 $ 4 $ 局以内赢得比赛的概率为 $ \dfrac{56}{81} $．解析四局内甲赢得比赛时，比赛总局数可以是 $2$，$3$ 或 $4$ 局．分析时从后往前推各局的输赢结果容易些．设甲在 $ 4 $ 局以内赢得比赛时的比赛总局数为 $Y$，则\[\begin{split}P\left(Y \leqslant 4\right) & \overset {\left[a\right]}= P\left(Y = 2\right) + P\left(Y = 3\right) + P\left(Y= 4\right) \\&\overset {\left[b\right]} = {\left(\dfrac{2}{3}\right)^2} + \dfrac{1}{3} \cdot {\left(\dfrac{2}{3}\right)^2} +\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3} \cdot {\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}\\& = \dfrac{56}{81}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$．）所以甲在 $ 4 $ 局以内赢得比赛的概率为 $ \dfrac{56}{81} $．
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记 $X$ 为比赛决出胜负时的总局数，求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）．标注答案$X $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|} \hline X&{2}&{3}&{4}&{5}\\ \hline P&{\dfrac59}&{\dfrac29}&{\dfrac{10}{81}}&{\dfrac{8}{81}}\\ \hline \end{array}\]$X $ 的均值为 $ E\left(X\right) = \dfrac{224}{81}$．解析分析计算总局数的概率时，注意甲乙都可以赢得比赛，不要受到第一题的影响而产生思维定式．$X $ 的可能取值为 $2$，$3 $，$4 $，$ 5 $．因\[\begin{split}P\left(X = 2\right) &\overset {\left[c\right]}= {\left(\dfrac{2}{3}\right)^2} + {\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{5}{9}, \\ P\left(X = 3\right) &= \dfrac{1}{3} \cdot {\left(\dfrac{2}{3}\right)^2} + \dfrac{2}{3} \cdot {\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{2}{9}, \\ P\left(X = 4\right) &= \dfrac{2}{3} \cdot {\left(\dfrac{1}{3}\right)^3} + \dfrac{1}{3} \cdot {\left(\dfrac{2}{3}\right)^3} = \dfrac{10}{81}, \\ P\left(X = 5\right) &= 2 \cdot {\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \cdot {\left(\dfrac{2}{3}\right)^2} = \dfrac{8}{81}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[c\right]$．）故 $X $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|} \hline X&{2}&{3}&{4}&{5}\\ \hline P&{\dfrac59}&{\dfrac29}&{\dfrac{10}{81}}&{\dfrac{8}{81}}\\ \hline \end{array}\]$X $ 的均值为\[ E\left(X\right) =2\cdot\dfrac59+3\cdot \dfrac29 +4\cdot \dfrac {10}{81}+5\cdot \dfrac {8}{81}=\dfrac{224}{81}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
