题目 如图，四棱柱 $ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1} $ 中，${A_1}A \perp 底面 ABCD$．四边形 $ABCD$ 为梯形，$AD \parallel BC$，且 $AD=2BC$．过 ${A_1}$，$C$，$D$ 三点的平面记为 $\alpha$，$B{B_1}$ 与 $\alpha$ 的交点为 $Q$．<br><img src="/static/images/538b9741ea18802982ef24e5e809810c.png" class="img-responsive" /> 问题1 证明：$Q$ 为 $B{B_1}$ 的中点； 答案1 略． 解析1 分析与中点有关的信息，由条件 $AD \parallel BC$，且 $AD=2BC$ 可联想到三角形的中位线，可延长 $DC$，$AB$ 交于点 $E$，连接 ${A_1}E$．易知 $A_1E \cap BB_1=Q$，且易证明出 $Q$ 为 $B{B_1}$ 的中点．延长 $DC$，$AB$ 交于点 $E$，连接 ${A_1}E$．<br/>则 ${A_1}E$ 为平面 $\alpha $ 与平面 $AB{B_1}{A_1}$ 的交线．<br/>而点 $Q$ 为 ${B_1}B$ 与平面 $\alpha $ 的交点，点 $Q$ 为平面 $\alpha $ 与平面 $AB{B_1}{A_1}$ 的公共点，所以点 $Q$ 在直线 ${A_1}E$ 上．<br/>因为 $BC\parallel AD$，${C_1}C\parallel {D_1}D$，$BC \cap CC_1 = C$，$AD \cap {D_1}D = D$．<br/>则有平面 ${B_1}{C_1}CB\parallel 平面 {A_1}{D_1}DA$．<br/>平面 $\alpha $ 与平面 ${B_1}{C_1}CB$，平面 ${A_1}{D_1}DA$ 相交于 $CQ$，${A_1}D$，则 $CQ\parallel {A_1}D$．<br/>又因为 $AD = 2BC$，所以 $CQ$ 为 $\triangle {A_1}DE$ 的中位线，所以 $Q$ 为 ${B_1}B$ 的中点．<img src="/static/images/3edb2c0e66833a042838c1ccbeef2304.png" class="img-responsive" /> 备注1 问题2 求此四棱柱被平面 $\alpha$ 所分成上下两部分的体积之比； 答案2 四棱柱被平面 $\alpha$ 所分成上下两部分的体积之比 $\dfrac{V_上}{V_下}=\dfrac{11}{7}$． 解析2 利用割补思想，把四棱柱被平面 $\alpha$ 所分为的下面那部分的几何体看成容易表示体积的三棱锥 $A_1-ADE$ 截掉三棱锥 $Q-BEC$．不妨设 $ABCD$ 的面积为 $S$，${A_1}A = h$．\[\begin{split}{V_下} &= {V_{{A_1} - ADE}} - {V_{Q - BCE}} \\& \overset {\left[a\right]}= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3}Sh - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}S \cdot \dfrac{1}{2}h \\&= \dfrac{7}{18}Sh , \\ {V_上} &= V - {V_下} = Sh - \dfrac{7}{18}Sh \\&= \dfrac{11}{18}Sh,\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right] $．）所以 $\dfrac{V_上}{V_下}=\dfrac{11}{7}$． 备注2 问题3 若 ${A_1}A=4$，$CD=2$，梯形 $ABCD$ 的面积为 $6$，求平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小． 答案3 平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 ${45^ \circ }$． 解析3 注意到 ${A_1}A \perp 底面 ABCD$，就可以根据三垂线定理容易的找到二面角的平面角．如图，过点 $ A $ 作 $AH \perp DE$ 于 $H$．<br/>因为 $ AH \perp DE$，${A_1}A \perp DE$，${A_1}A \cap AH = A $，<br/>所以 $ DE \perp 平面 {A_1}AH $，$ \therefore $ $ DE \perp {A_1}H $，<br/>所以 $ \angle {A_1}HA $ 即为面 $ \alpha $ 和面 $ ABCD $ 所成二面角的平面角．<br/>因为\[ {S_{\triangle {ADE}} }= \dfrac{4}{3}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}DE \cdot AH = 8,\]所以 $ AH = 4$，所以\[\tan \angle {A_1}HA=\dfrac{{{A_1}A}}{AH} = 1,\]所以 $\angle {A_1}HA = {45^ \circ }$，所以面 $ \alpha $ 和面 $ ABCD $ 所成二面角为 ${45^ \circ }$． 备注3