已知函数 $f\left(x\right) = \sin \left(3x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（文）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间；标注答案$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left[ {\dfrac{{2k{\mathrm \pi} }}{3} - \dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{{2k{\mathrm \pi} }}{3} + \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right],k \in {\mathbb{Z}}$．解析本题考查正弦型函数的图象与性质，类比正弦函数的单调性求解即可．因为\[2k{\mathrm \pi} - \dfrac{{\mathrm \pi} }{2} \leqslant 3x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} \leqslant 2k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {2},k \in {\mathbb{Z}}.\]所以\[ \dfrac{{2k{\mathrm \pi} }}{3} - \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{{2k{\mathrm \pi} }}{3} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{12},\]因此所求 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left[ {\dfrac{{2k{\mathrm \pi} }}{3} - \dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{{2k{\mathrm \pi} }}{3} + \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right],k \in {\mathbb{Z}}$．
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若 $\alpha $ 是第二象限角，$f\left(\dfrac{\alpha }{3}\right) = \dfrac{4}{5}\cos \left(\alpha + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right)\cos 2\alpha $，求 $\cos \alpha - \sin \alpha $ 的值．标注答案$\cos \alpha-\sin \alpha=-\sqrt 2 或 -\dfrac{\sqrt 5}{2}$．解析先用三角恒等变换对已知等式进行整理，再结合所给角的范围求值即可．注意在整理已知等式时出现了公因式 $\sin \alpha+\cos \alpha$ 需要分类讨论．因为\[\begin{split}f\left(\dfrac{\alpha }{3}\right) &= \sin \left(\alpha + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right) = \dfrac{4}{5}\cos \left(\alpha + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right)\cos 2\alpha ,\end{split}\]所以\[\sin \alpha + \cos \alpha\overset {\left[a\right]}= \dfrac{4}{5} \cdot \left(\cos \alpha - \sin \alpha \right) \cos 2\alpha ,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）即\[\sin \alpha + \cos \alpha\overset {\left[b\right]}= \dfrac{4}{5} \cdot{\left(\cos \alpha - \sin \alpha \right)^2}\left(\cos \alpha + \sin \alpha \right),\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）当 $\sin \alpha +\cos \alpha=0$ 时，由 $\alpha$ 是第二象限角，知\[\alpha=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}+2k{\mathrm \pi} ,k \in {\mathbb{Z}} ,\]此时\[\cos \alpha-\sin \alpha=-\sqrt 2.\]当 $\sin \alpha +\cos \alpha \ne 0$ 时，有\[{\left(\cos \alpha - \sin \alpha \right)^2} = \dfrac{5}{4}, \]又 $\alpha $ 是第二象限角，所以\[\sin \alpha > \cos \alpha ,\]因此\[\cos \alpha - \sin \alpha = - \dfrac{\sqrt 5 }{2}.\]综上可得 $\cos \alpha-\sin \alpha=-\sqrt 2 或 -\dfrac{\sqrt 5}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
