题目 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 $ 10 $ 分，出现两次音乐获得 $ 20 $ 分，出现三次音乐获得 $ 100 $ 分，没有出现音乐则扣除 $ 200 $ 分（即获得 $ - 200$ 分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 $\dfrac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立． 问题1 设每盘游戏获得的分数为 $X$，求 $X$ 的分布列； 答案1 $X$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>X & 10 & 20 & 100 & -200 \\ \hline<br/>P & \dfrac 3 8 & \dfrac 3 8 & \dfrac 1 8 & \dfrac 1 8 \\ \hline \end{array}\] 解析1 易知 $X$ 服从二项分布．$X$ 可取 $ 10$，$20$，$100$，$-200 $．且\[\begin{split}<br/>P\left(X = 10\right) & \overset {\left[a\right]}= {\mathrm{C}}_3^1{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^1}{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{8} , \\<br/>P\left(X = 20\right) & = {\mathrm{C}}_3^2{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)^1} = \dfrac{3}{8} , \\<br/>P\left(X = 100\right) & = {\mathrm{C}}_3^3{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)^0} = \dfrac{1}{8} , \\<br/>P\left(X = - 200\right) & = {\mathrm{C}}_3^0{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0}{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{8} , \\<br/>\end{split} \]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）所以 $X$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>X & 10 & 20 & 100 & -200 \\ \hline<br/>P & \dfrac 3 8 & \dfrac 3 8 & \dfrac 1 8 & \dfrac 1 8 \\ \hline \end{array}\] 备注1 问题2 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 答案2 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为 $ \dfrac{511}{512} $． 解析2 "至少"问题可考虑用对立事件解决．设玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐为事件 $A$，则玩三盘游戏，不出现音乐的事件为 $\overline {A} $．因为进行一盘游戏不出现音乐的概率为\[ P\left(X = - 200\right) = \dfrac{1}{8}.\]所以\[ P\left(\overline {A}\right)\overset {\left[b\right]}=\left(\dfrac 18\right)^3=\dfrac {1}{512} .\]（推导中用到 $\left[b\right] $．）所以\[ P\left(A\right) = 1 -P\left(\overline {A}\right) = \dfrac{511}{512}.\] 备注2 问题3 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 答案3 略． 解析3 利用数学期望解释即可．因为每一盘游戏的期望为\[ \begin{split}E\left(X\right) &= 10 \cdot P\left(X = 10\right) + 20 \cdot P\left(X = 20\right) + 100 \cdot P\left(X = 100\right) + \left( - 200\right) \cdot P\left(X = - 200\right)\\& = - \dfrac{10}{8}, \end{split}\]这说明每盘游戏得分 $X$ 的均值为负．所以多次游戏后分数减少的可能性更大． 备注3