三棱锥 $A - BCD$ 及其侧视图、俯视图如图所示．设 $M$，$ N$ 分别为线段 $AD$，$AB$ 的中点，$P$ 为线段 $BC$ 上的点，且 $MN \perp NP$．
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（理）
【标注】
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证明：$P$ 为线段 $BC$ 的中点；标注答案略．解析$MN \perp AC$，但 $MN$ 不垂直平面 $ABC$，故 $PN \parallel AC$．如图，取 $ BD$ 的中点 $ O$，再取 $ BO$ 的中点 $ H$，连接 $NH $，$ PH$，$AO $，$CO $．
由侧视图及俯视图知，$\triangle ABD $，$\triangle BCD $ 均为正三角形，因此 $ AO\perp BD$，$ OC\perp BD$．
因为 $AO , OC\subset 平面 AOC$，且 $AO \cap OC=O$，所以 $BD \perp 平面 AOC $．
又因为 $AC\subset 平面 AOC $，所以 $ BD\perp AC$．
又 $M $，$N $ 分别为线段 $AD $，$ AB$ 的中点，所以 $ NH\parallel AO$，$ MN\parallel BD$．
因为 $ AO\perp BD$，所以 $ NH\perp BD$．因为 $MN\perp NP $，所以 $BD\perp NP $．
因为 $NH , NP \subset 平面 NHP$，且 $ NH\cap NP=N$，所以 $BD\perp 平面 NHP$．
又因为 $ HP\subset 平面 NHP $，所以 $BD\perp HP $．
又 $OC\perp BD $，$HP\subset 平面 BCD$，$OC\subset 平面 BCD$，所以 $HP\parallel OC $．
因为 $H $ 为 $BO $ 中点，故 $P $ 为 $ BC$ 中点． -
求二面角 $A - NP - M$ 的余弦值．标注答案二面角 $A - NP - M$ 的余弦值为 $\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}$．解析可以结合图形用向量法求解．可以用向量法求解．
由俯视图及（1）可知，$AO\perp 平面 BCD$．
因为 $ OC , OB\subset 平面 BCD$，所以 $ AO\perp OC$，$ AO\perp OB$．
又 $OC\perp OB $，所以直线 $OA $，$OB $，$OC $ 两两垂直．如图，以 $O$ 为坐标原点，以 $\overrightarrow{OB} $，$\overrightarrow{OC}$，$ \overrightarrow{OA}$ 的方向为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $ O-xyz$．
则\[A\left(0,0,\sqrt 3 \right) , B\left(1,0,0\right) , C\left(0,\sqrt 3,0\right) , M\left( - \dfrac{1}{2},0,\dfrac{\sqrt 3 }{2}\right) , N\left(\dfrac{1}{2},0,\dfrac{\sqrt 3 }{2}\right) , P\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt 3 }{2},0\right) ,\]于是\[ \overrightarrow {AN} = \left(\dfrac{1}{2},0, - \dfrac{\sqrt 3 }{2}\right), \overrightarrow {PN} = \left(0, - \dfrac{\sqrt 3 }{2},\dfrac{\sqrt 3 }{2}\right) , \overrightarrow {MN} = \left(1,0,0\right). \]设平面 $ANP$ 和平面 $NPM$ 的法向量分别为 $\overrightarrow m = \left({x_1},{y_1},{z_1}\right)$ 和 $\overrightarrow n = \left({x_2},{y_2},{z_2}\right)$，由\[\begin{cases}
\overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow m = 0 ,\\
\overrightarrow {PN} \cdot \overrightarrow m = 0, \\
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\dfrac{1}{2}{x_1} - \dfrac{\sqrt 3 }{2}{z_1} = 0 ,\\
- \dfrac{\sqrt 3 }{2}{y_1} + \dfrac{\sqrt 3 }{2}{z_1} = 0, \\
\end{cases}\]设 ${y_1} = 1$，则 $\overrightarrow m = \left(\sqrt 3 ,1,1\right)$，由\[\begin{cases}\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow n = 0, \\
\overrightarrow {PN} \cdot \overrightarrow n = 0 ,\\
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}{x_2} = 0 ,\\
- \dfrac{\sqrt 3 }{2}{y_2} + \dfrac{\sqrt 3 }{2}{z_2} = 0,\\
\end{cases}\]设 ${y_2} = 1$，则 $\overrightarrow n = \left(0,1,1\right)$，所以\[\cos \left\langle {\overrightarrow m , \overrightarrow n } \right\rangle = \dfrac{\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n }{{\left| {\overrightarrow m } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{2}{\sqrt 5 \cdot \sqrt 2 } = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5},\]结合图形知，二面角 $A - NP - M$ 的平面角为锐角，所以它的余弦值为 $\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
