设等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差为 $d$，点 $\left({a_n},{b_n}\right)$ 在函数 $f\left(x\right) = {2^x}$ 的图象上 $ \left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right) $．
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（理）
【标注】
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若 ${a_1} = - 2$，点 $\left({a_8},4{b_7}\right)$ 在函数 $f\left(x\right)$ 的图象上，求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$；标注答案${S_n} ={n^2} - 3n $．解析求解 $d$ 的值是解答本题的关键．由点在函数图象上可得\[\dfrac {b_8}{b_7}=\dfrac {2^{a_8}}{2^{a_7}}=2^d=4.\]因为点 $\left({a_n},{b_n}\right)$ 在函数 $f\left(x\right) = {2^x}$ 的图象上，所以 ${b_n} = {2^{a_n}}$．
又等差数列$\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，所以\[\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{b_n} = \dfrac{{{2^{{a_{n + 1}}}}}}{{{2^{a_n}}}} = {2^d}.\]因为点 $\left({a_8},4{b_7}\right)$ 在函数 $f\left(x\right)$ 的图象上，所以\[4{b_7} = {2^{a_8}} = {b_8} , \]所以 ${2^d} = \dfrac{b_8}{b_7} = 4$，解得 $d = 2$．又 ${a_1} = - 2$，所以\[\begin{split}{S_n} = n{a_1} + \dfrac{n\left(n - 1\right)}{2}d = {n^2} - 3n.\end{split}\] -
若 ${a_1} = 1$，函数 $f\left(x\right)$ 的图象在点 $\left({a_2},{b_2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \dfrac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{ \dfrac{a_n}{b_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和 ${T_n}$．标注答案$ {T_n} = 2 - \left(n + 2\right){\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n }} $．解析利用导数求出切线方程后可以根据截距算出 $a_2$ 的值，即可得出等差数列的通项 $a_n$ 和等比数列的通项 $b_n$，而所要求前 $n$ 项和的数列是一个差比数列，故可以用错位相减法求解．由 $f\left(x\right) = {2^x}$，得到\[f'\left(x\right) \overset {\left[a\right]}= {2^x}\ln 2,\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）函数 $f\left(x\right)$ 的图象在点 $\left({a_2},{b_2}\right)$ 处的切线方程为\[y -2^{a_2} = \left({2^{a_2}}\ln 2\right)\left(x - {a_2}\right),\]所以切线在 $x$ 轴上的截距为\[{a_2} - \dfrac{ 1}{\ln 2}=2-\dfrac{1}{\ln 2},\]得 ${a_2} = 2$，从而 ${a_n} = n $，${b_n} = {2^n}$，得到 $\dfrac{a_n}{b_n} = n \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$，可以用错位相减法求数列 $\left\{ \dfrac{a_n}{b_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和 ${T_n}$．因为\[\begin{split}{T_n} & = 1 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} + \cdots + n \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}, \quad \cdots \cdots ① \\ \dfrac{1}{2}{T_n} & = 1 \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} + 2 \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^3} + \cdots + \left(n - 1\right) \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^n} + n \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n + 1}}, \quad \cdots \cdots ② \end{split}\]$ ① - ② $，得\[\begin{split}\dfrac{1}{2}{T_n} & = \dfrac{1}{2} + {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} + \cdots + {\left(\dfrac{1}{2}\right)^n} - n \cdot {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n + 1}} \\& = 1 - \left(n + 2\right){\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n + 1}},\end{split}\]故\[{T_n} = 2 - \left(n + 2\right){\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n }}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
