题目 已知 $\alpha \in \left(\dfrac{{\mathrm \pi} }{2},{\mathrm \pi} \right)$，$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt 5 }{5}$． 问题1 求 $\sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4} + \alpha \right)$ 的值； 答案1 $ -\dfrac{{\sqrt {10} }}{10}$． 解析1 利用两角和公式展开即可．由条件 $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt 5 }{5} $，$ \alpha \in \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2},{\mathrm{\mathrm \pi} } \right)$，并根据 ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$，可得\[\dfrac{1}{5} + {\cos ^2}\alpha = 1,\]所以\[\cos \alpha = - \dfrac{2\sqrt 5 }{5},\]所以\[\begin{split}\sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4} + \alpha \right) & \overset{\left[a\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\cos \alpha + \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \alpha \\& = \dfrac{\sqrt 2 }{2} \cdot {\left(-\dfrac{2\sqrt 5 }{5}\right)} + \dfrac{\sqrt 2 }{2} \cdot \dfrac{\sqrt 5 }{5} \\& = -\dfrac{{\sqrt {10} }}{10}.\end{split}\]（推导中用到：[a]） 备注1 问题2 求 $\cos \left(\dfrac{5}{6}{\mathrm{\mathrm \pi} } - 2\alpha \right)$ 的值． 答案2 $- \dfrac{4 + 3\sqrt 3 }{10}$． 解析2 先用两角差余弦公式展开，再结合二倍角公式即可得解．结合1）中所得结果可求得\[\begin{split}\cos \left(\dfrac{5}{6}{\mathrm{\mathrm \pi} } - 2\alpha \right) & \overset{\left[a\right]}= \cos \dfrac{5}{6}{\mathrm{\mathrm \pi} } \cdot \cos 2\alpha + \sin \dfrac{5}{6}{\mathrm{\mathrm \pi} } \cdot \sin 2\alpha \\&\overset{\left[b\right]} = \cos \dfrac{5}{6}{\mathrm{\mathrm \pi} } \cdot \left(2{\cos ^2}\alpha - 1\right) + \sin \dfrac{5}{6}{\mathrm{\mathrm \pi} } \cdot 2\sin \alpha \cos \alpha \\& = - \dfrac{\sqrt 3 }{2} \cdot \left(2 \cdot \dfrac{4}{5} - 1\right) + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt 5 }{5} \cdot \left( - \dfrac{2\sqrt 5 }{5}\right) \\& = - \dfrac{4 + 3\sqrt 3 }{10}.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]） 备注2